Massa

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Massa e uma grandeza basica no Sistema Internacional de Unidades, cuja unidade associada e por definicao o quilograma ^{[1] [2] [3]}.

Sendo a massa uma grandeza fundamental, com unidade e definicao axiomaticas, sao outras grandezas - as assim ditas grandezas derivadas - que se definem baseadas no conceito de massa; e nao o contrario ^[2]. Tentar definir massa a partir de outras grandezas e tautologico.

A apreensao de ao menos um conceito formal para massa e contudo necessaria; e so e possivel via analise dos relacionamentos dessa grandeza com as demais.

Apos algumas ponderacoes, e no relacionamento entre as grandezas massa, tempo e comprimento que se devem procurar conceitos valido para massa. Tempo e comprimento sao tambem grandezas base e figuram nas definicoes de velocidade, aceleracao, e associados a massa, nas definicoes de forca, momento e energia; as principais grandezas inter-relacionadas dentro da mecanica, ao se estudar a dinamica dos sistemas fisicos ^{[Nota 1] [4]}.

Dentro da Fisica e que se encontrarao os conceitos procurados, portanto. A isso se propoe o corrente artigo.

Em resumo, segundo o Sistema Internacional de Unidades, se tem, atualmente, o seguinte.

Haja a luz - e a luz, o comprimento e o tempo se fizeram.

A partir da luz, e da velocidade dela no vacuo - uma constante natural simbolizada por c - se definem modernamente o segundo e o metro ^[1].

Haja ondas de materia, e leis fisicas com simetrias de translacao temporal e de translacao e rotacao espaciais para governarem as interacoes materia-materia e materia-luz - e dois novos conceitos se fizeram: o de energia e momento ^{[Nota 2]}.

Segundo o teorema mais famoso de Emmy Noether, a cada simetria continua na natureza associa-se uma grandeza fisica que obedece a uma lei de conservacao. Assim se fazem o momento a partir da simetria espacial - com a grandeza conjugada sendo o comprimento - e a energia a partir da simetria temporal - com a grandeza conjugada sendo o tempo - cada qual por definicao com sua lei de conservacao ^{[5] [6] [7]}.

Observe que o momento e a energia surgem como consequencias de propriedades relacionadas apenas as nocoes de tempo e espaco, antes mesmo que uma definicao de massa se faca presente; e sao portanto - a principio - conceitos primordiais. Energia e momento sao, contudo, fisicamente intangiveis.

Para que energia e momento obedecam simultaneamente a leis de conservacao nas interacoes materia-materia e materia-radiacao, verificou-se que um novo parametro por elas compartilhado, bem mais tangivel, tem de se fazer: a massa.

Assim, por simplicidade, a massa foi definida como unidade base pelo Sistema Internacional de Unidades, nao a energia ou o momento.

E houve assim colisoes, a quantizacao da luz e o espalhamento da luz - e outra constante natural e outra grandeza fisica se fizeram: a constante de Planck h e a massa, medida em quilogramas.

Atualmente o quilograma e definido como sendo a massa para a qual a constante de Planck venha a valer exatamente ^{[Nota 3] [1]}

${\displaystyle h=6,62607015\times 10^{-34}[Kg\cdot {\frac {m}{s}}]\cdot m=6,62607015\times 10^{-34}[J]\cdot s}$

onde, acima, explicitam-se entre colchetes, para reflexao, as unidades de momento e energia, respectivamente.

Dessa definicao deriva-se, via balanca de watt, um quilograma-padrao atual; referencia para a medida de massa no mundo cientifico e no cotidiano ^{[Nota 4] [8] [9]}.

Feito o resumo, se a pretensao e doravante prosseguir com a leitura, "ignorando-se" talvez uma tautologia inerente, vale ressaltar que e na relacao entre energia e momento, ou na relacao de uma delas com o tempo ou comprimento, que se devem procurar os conceitos de massa e as maneiras de se calcula-la. E nisso, os fisicos sao especialistas.

Fisica
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v d e

Em Fisica, massa e um conceito que surge junto ao estudo de mecanica, ao se estudar a dinamica dos entes ou sistemas fisicos ^[13].

Em mecanica, duas grandezas sao fundamentais a correta compressao da dinamica dos sistemas: a energia e o momento ^[14]. A saber, existem tres formalismos basicos na mecanica classica: o newtoniano, o hamiltoniano e o lagrangiano; os dois ultimos construidos explicitamente sobre os conceitos de energia e momento ^{[Nota 5] [4] [15]}.

A mecanica newtoniana e construida fundamentalmente sobre os conceitos de forca e aceleracao, e e dela que se deriva o conceito cotidiano correto de massa.

No cotidiano, a acepcao correta de massa corresponde a medida da inercia de um corpo; a uma medida da oposicao que o corpo apresenta a mudancas na velocidade dele. Quando sujeitos a mesma forca, tanto maior sera a massa do objeto quanto menor for a sua aceleracao. Com a devida observacao ^{[Nota 6] [13] [16]} :

${\displaystyle m={\frac {F}{a}}}$

Na oportunidade cita-se a definicao geral de forca:

A forca que atua em um ente corresponde a derivada de seu momento em relacao ao tempo ^{[2] [4] [15]}.

${\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}}$

Um conceito mais geral e formal de massa deriva-se contudo explicitamente dos conceitos de energia e momento. Em mecanica da-se o nome de relacao de dispersao ao grafico energia versus momento para um ente fisico. Um ente fisico e caracterizado e ate mesmo definido pela sua relacao de dispersao.

E com base na relacao de dispersao que a massa de um ente fisico e formalmente calculada:

exceto o caso de derivada segunda nula, a massa de um ente fisico e o inverso da derivada segunda da energia em relacao ao momento ^{[Nota 7] [12] [17][10]}

${\displaystyle m=\left({\frac {d^{2}E}{dp^{2}}}\right)^{-1}}$

quando a derivada segunda e nula, ocorreria uma indeterminacao fisica devido a uma divisao por zero; e nesse caso a massa do objeto e geralmente definida como nula.

Classicamente, particulas macicas livres tem relacoes parabolicas com concavidade para cima entre energia e momento, de forma que as suas massas sao constantes e positivas. Fotons tem relacao de dispersao linear entre energia e momento, de forma que suas massas sao sempre nulas, pois assim se define visto que a derivada segunda se anula ^{[Nota 8]}.

Particulas confinadas, como eletrons em cristais a exemplo, podem ter relacoes de dispersao mais complexas, que podem inclusive depender da orientacao espacial. Nesses casos a massa depende do momento e pode ser inclusive negativa, quando a concavidade do grafico energia versus momento volta-se para baixo ^[12]. Nesse prologo apresenta-se uma simplificada relacao de dispersao para eletrons confinados em cristais. Nela indicam-se as regioes onde as massas dos eletrons sao positivas, negativas ou nulas. Ha tambem um diagrama mais realista para a relacao de dispersao em questao ^[11].

Sim, em situacoes de massa negativa, grosso modo, ao se aplicar uma forca em dado sentido sobre um eletron, o eletron de fato desacelera ao inves de acelerar naquele sentido ^{[10] [17]}.

As definicoes de massa e forca acima sao validas nao apenas na mecanica newtoniana mas tambem dentro da relatividade ^{[4] [15] [Nota 9]}. Na relatividade a massa, em definicao formal, tambem e dependente do momento; e ha necessidade de se fazer distincao entre a massa de repouso, constante, equiparavel a massa da particula livre classica, e as massas relativisticas, variaveis, que tomam lugar quando o objeto tem velocidades nao despreziveis se comparadas a da luz. Sim, ha mais de uma massa relativistica para cada particula ^{[18] [19]}.

Os conceitos de massa negativa e massas relativisticas sao por certo pouco intuitivos frente ao conceito cotidiano estabelecido, mas sao cientificamente corretos, por mais estranhos que parecam.

Abordemos primeiramente os conceitos cotidianos antes de avancarmos para conceitos mais sofisticados, pois varios conceitos populares de massa nao sao totalmente corretos, e merecem por tal mencao e correcoes.

A unidade no Sistema Internacional de Unidades para massa e o quilograma (Kg) ^[21].

O quilograma - equivale a 1000 gramas - foi primeiramente definido em 1975, apos a Revolucao Francesa, como a massa de um decimetro cubico de agua em condicoes de maxima densidade ^{[Nota 10] [22]}.

Como a medida com precisao requerida de um centimetro cubico de agua nas condicoes especificadas de temperatura e pressao - o grama - se fazia cada vez mais inadequada, em 1799 o quilograma foi redefinido como a massa de um objeto de metal, tornando-se independente das propriedades da agua e das incertezas volumetricas ^[22].

Tendo por antecessor um prototipo de cobre nomeado Grave estabelecido em 1793 ^{[Nota 11]}; o quilograma tornou-se a massa do Kilogramme des Archives feito de platina em 1799; e por fim a massa do Prototipo Internacional do Quilograma de platina iridiada (IPK) em 1889; do qual varias copias foram feitas e espalhadas por varios paises signatarios da Convencao do Metro ^{[Nota 12] [22]}. O Brasil recebeu a copia K66 e Portugal a K69.

O prototipo internacional (IPK) original, feito de 90% de platina e 10% de iridio, se encontra conservado no Pavillon de Breteuil do Escritorio Internacional de Pesos e Medidas (BIPM), situado no parque de Saint-Cloud, nas proximidades de Paris, Franca; sendo o quilograma ate recentemente definido como a massa deste prototipo ^{[22] [23] [24]}.

Com o passar do tempo, as massas do prototipo e suas copias passaram a divergir ^{[25] [26]}, o que, juntamente com o aumento continuo da precisao requisitada pelos avancos tecnologicos, fez o quilograma e varias outras unidades serem redefinidas - as novas definicoes valendo a partir de 20 de maio de 2019 ^[25].

Seguindo-se o estabelecido em votacao final na 26a Conferencia Geral de Pesos e Medidas - CGPM - ocorrida em novembro de 2018, as novas definicoes das grandezas fisicas fundamentais tem por base apenas parametros naturais invariantes - as constantes naturais - entre elas a velocidade da luz no vacuo, a frequencia hiperfina do cesio, a constante de Planck, a constante de Boltzmann e a carga elementar ^{[1] [27]}.

O processo de redefinicao das unidades foi ciclico a fim de manter a compatibilidade. Com os padroes ja existentes a epoca se determinaram os melhores valores possiveis das constantes, que foram entao exatamente definidas, e a partir delas as unidades foram redefinidas ^[8].

Atualmente o quilograma e definido com base nas definicoes atualizadas de metro, segundo, e de uma constante natural, a constante de Planck h ^[28]. A massa de um quilograma e definida como sendo a massa para a qual a constante de Planck valha exatamente ^[1]:

${\displaystyle h=6,62607015\times 10^{-34}Kg\cdot m^{2}\cdot s^{-1}}$.

Ha dois metodos tradicionais para a realizacao pratica do quilograma: atraves da balanca de Kibble ou atraves da determinacao de estruturas cristalinas por raios X (ou x-ray-crystal-density, XRCD) ^{[8] [24] [20] [29]}.

Em vista do senso comum ressalta-se que o conceito de quilograma (kg) como unidade de massa difere completamente do conceito de quilograma-forca (kgf), uma unidade alternativa ao newton (N) na medida de forca ou peso ^[30].

No ramo da fisica de particulas e comum medir-se a massa nao em quilogramas (kg) mas em unidades diretamente associadas as de energia dividida pelo quadrado da velocidade da luz, dentre as quais o eletron-volt / velocidade da luz ² se destaca. Em acordo com a ideia de equivalencia entre massa e energia proposta por Einstein (${\displaystyle E=mc^{2}}$) a massa do eletron e expressa, em fisica de particulas, como 5,11x10⁵ eV/c² ou 511 keV/c², e nao como 9,11x10^-31 kg.

Em quimica, apesar de nao pertencer ao Sistema Internacional mas ser por este aceita, uma unidade de massa muito utilizada e a unidade de massa atomica, tambem conhecida por dalton. A unidade de massa atomica relativa, abreviada por "u", "uma", ou simplesmente "Da", equivale a massa de um doze avos (1/12) da massa do isotopo mais estavel e abundante de carbono (carbono 12) em seu estado fundamental.^[31]

Mesmo sendo o quilograma a unidade oficial do Sistema Internacional de Unidades, unidades especificas a cada ramo de atividade ou de uso comum em certas localidades tem uso ainda muito difundido, a citar a tonelada, a arroba, a onca, o quilate (em joalheria e ourivesaria), e outras.

Massa e um conceito utilizado nao apenas em ciencias naturais mas tambem no cotidiano ^[32] .

O corpo humano e equipado com varios sentidos com os quais estabelecemos a compreensao do mundo que nos cerca ^[33]. Em primeira instancia sao as sensacoes que eles nos fornecem que naturalmente associamos certos conceitos e definicoes, a citar os conceitos intuitivos de temperatura, tamanho, resistencia, peso, massa, e outros ^[34]. Os conceitos intuitivos de massa que desenvolvemos encontram-se intimamente ligados aos sentidos ^[32]. Entretanto, sabe-se hoje que nossos sentidos sao mestres em nos enganar -- quem nunca viu uma ilusao de optica? -- e que eles tambem nao tem grande exatidao ^[33]. Se um punhado de balas for colocado em uma de suas maos, e se uma for retirada do topo da pilha, voce certamente nao dara por falta desta se confiar apenas na sensacao do peso que seu tato lhe confere.

No cotidiano a massa e frequentemente associada ao "peso" dos objetos ^[3]. Esta associacao nao se mostra correta para muitos ^[35], ou quando aceitavel, nao se mostra completamente elucidativa. Em acordo com o paradigma cientifico moderno, o peso de um objeto resulta da interacao gravitacional entre sua massa e um campo gravitacional:^[30] ao passo que a massa e parte integrante da explicacao para o peso, ela sozinha nao constitui a explicacao completa. Os trajes espaciais dos astronautas, quando usados aqui na Terra, parecem consideravelmente mais pesados do que quando usados na superficie da Lua, contudo suas massas permanecem exatamente as mesmas ^[3].

A situacao fica mais complicada quando se evidencia que o que chama-se de "peso" acima e na verdade a forca de contato aplicada a um objeto imerso em um campo gravitacional a fim de equilibra-lo - o assim chamado peso aparente - que em varias situacoes pode diferir do peso gravitacional ^[32]. Em termos de sentidos, o peso em si e imponderavel, pois a gravidade provoca a mesma aceleracao em cada parte do corpo ^{[Nota 13]}. Na Estacao Espacial Internacional tem-se peso mas nao ha forca de sustentacao; e erroneamente se afirma que os objetos ali estao sem peso ^{[36] [37]}.

Vale ressaltar que a massa e uma grandeza escalar, ja a forca e uma grandeza vetorial.^[31]

Comum tambem e a associacao de massa ao tamanho e forma de um objeto. Massa realmente toma parte, juntamente com o tamanho do objeto, na definicao de densidade, mas nao se deve associar massa diretamente ao tamanho de objetos ^[38].

Ha tambem confusao entre massa e quantidade de materia. Por vezes se encontra a definicao de massa como uma medida da quantidade de materia de um corpo ^[39]. A quantidade de materia e uma grandeza distinta da massa e tem por unidade o mol. E, juntamente com a massa, uma das sete unidades base do Sistema Internacional de Unidades. Nao se devem confundir os conceitos de massa e quantidade de materia, portanto ^{[Nota 14] [1]}. Igualmente, nao se deve cometer o equivoco de achar que a quantidade de materia e determinavel pelo peso do objeto ^[35]. Massa, quantidade de materia e peso tem conceitos bem diferentes.

Depois de tantos equivocos, nao se devem esquecer os conceito cotidianos corretos de massa, presente entre aqueles mais letrados. Os conceitos corretos de massa se mostram sempre de alguma forma associados ao conceito de inercia, e mesmo no senso comum sobre relatividade - onde energia e massa mantem, em acordo com a famosa equacao E = mc², intima relacao - a associacao se faz presente: nao so a materia mas tambem a energia apresenta inercia.

Como conclusao tem-se que, apesar de "muito bem definida" dentro de cada area de estudo onde aparece, explicar a massa nao e uma coisa muito simples, sobretudo no cotidiano ^[35]. Atencao as palavras e sempre necessaria quando se pretende ser rigoroso nesse assunto ^{[Nota 15]}

Em mecanica classica, que encerra em si as leis da dinamica e tambem a lei da gravitacao universal, ambas devidas a Isaac Newton, encontram-se duas possiveis definicoes para massa: a massa inercial, associada a Segunda Lei de Newton, e a massa gravitacional, definida em funcao da interacao gravitacional entre dois corpos.^[40]

A massa inercial ${\displaystyle m}$ de um corpo e uma grandeza escalar associada a razao entre o modulo da aceleracao ${\displaystyle a_{0}}$ apresentada por um corpo de referencia -- por definicao o quilograma padrao (cuja massa inercial vale m₀ = 1 kg) -- e o modulo da aceleracao ${\displaystyle a}$ apresentada por este corpo quando ambos encontram-se solicitados por forcas nao gravitacionais de mesmo modulo.^[41]

${\displaystyle m=m_{0}{\frac {a_{0}}{a}}}$

para forcas (nao gravitacionais) de mesmo modulo atuando em ambos os corpos.

Um mecanismo destinado a medida da massa inercial nada mais e do que um mecanismo que aplique forcas nao gravitacionais com modulos identicos a dois corpos distintos, e que permita a medida de suas aceleracoes.

Um bom "medidor de massa inercial" e o sistema constituido por duas massas, uma das quais de referencia ${\displaystyle m_{1}}$ de valor previamente conhecido (mas nao necessariamente o quilograma-padrao ou replica deste), apoiadas em uma mesa horizontal sem atrito, e conectadas entre si por uma mola de massa desprezivel e com constante elastica nao necessariamente conhecida. Em virtude da terceira lei de Newton, ao colocar-se o sistema para oscilar ambas as massas oscilarao em torno do centro de massa e os modulos das forcas em ambas serao, apesar de nao necessariamente conhecidos, obrigatoriamente iguais. Ao medir-se a aceleracao ${\displaystyle a_{1}}$ e ${\displaystyle a_{2}}$ das massas (em relacao ao centro de massa) e determinar-se a razao entre elas estabelece-se automaticamente o inverso da razao de suas massas inerciais ${\displaystyle m_{1}}$ e ${\displaystyle m_{2}}$, o que fornece a massa desconhecida em funcao da massa de referencia (ou a massa desconhecida diretamente quando a massa de referencia e quilograma-padrao ou replica deste, caso em que ${\displaystyle m_{1}}$=1 kg).

${\displaystyle m_{2}=m_{1}{\frac {a_{1}}{a_{2}}}}$

para um corpo de referencia qualquer com massa ${\displaystyle m_{1}}$ conhecida;

para forcas (nao gravitacionais) de modulos iguais atuando em ambos os corpos.

A construcao de um medidor de massa inercial fundamentado nos principios citados pode ser muito simplificada quando, baseando-se na Lei de Hooke e no estudo dos movimentos harmonicos simples, percebe-se que a medida da razao entre as aceleracoes pode ser substituida pela medida da razao inversa das amplitudes dos movimentos, grandeza esta facilmente mensuravel.

O conceito de massa inercial fundamenta-se diretamente nas leis da mecanica, em especial com a Segunda Lei de Newton.

A Segunda Lei de Newton afirma em essencia que a forca aplicada em um dado objeto e diretamente proporcional a aceleracao que este apresenta. Assim, quanto maior a forca aplicada a um mesmo objeto, maior a sua aceleracao. Subentende-se aqui, como em todo problema de mecanica classica, que o referencial utilizado e um referencial inercial, sendo portanto a primeira e a terceira leis sempre validas no referencial assumido (conforme praxe).

Nestas condicoes, a segunda lei tambem encerra em si o fato experimental de que, ao selecionarem-se diversos corpos completamente diferentes, uma mesma forca ira produzir nestes, muito provavelmente, aceleracoes completamente diferentes.

Este fato estabelece a necessidade de se definir uma grandeza intrinseca a cada corpo que expresse em seu valor a relacao entre a forca necessaria e a aceleracao desejada neste corpo em especifico: esta grandeza, definida como a massa inercial do corpo, aparece na segunda lei como sendo a constante de proporcionalidade entre forca e aceleracao.

${\displaystyle {\vec {F}}=m{\vec {a}}}$

Tendo-se ja por definida a unidade de aceleracao (m/s2), pois esta deriva de uma relacao entre a unidade de comprimento (no S.I o metro) e uma unidade de tempo (no S.I o segundo), havia, mediante as situacoes apresentadas, duas possibilidades para se estabelecer as unidades das grandezas restantes: ou definia-se um padrao de forca, sendo a sua intensidade entao definida como uma unidade fundamental, e mediante esta definicao estabelecia-se a unidade de massa como unidade derivada, ou estabelecia-se um corpo referencia para o qual a massa inercial seria a unidade, e assim fazendo ter-se-ia a unidade de forca e nao a unidade de massa como uma unidade derivada.

Por razoes praticas, a opcao escolhida foi a segunda, e estabeleceu-se um corpo padrao, o quilograma-padrao, ao qual se atribuiu por definicao a massa inercial de 1 quilograma (1 kg). Com esta definicao, a unidade de forca, uma grandeza derivada, recebeu o nome newton, havendo a seguinte relacao entre elas:

${\displaystyle 1N=1kg.1m/s^{2}}$

Assim, uma forca com intensidade de 1 newton (1N) e uma forca que, quando aplicada ao quilograma-padrao, ou a um corpo cuja massa seja, por comparacao inercial ao quilograma padrao ou replica deste, tambem 1 kg, provoque nestes uma aceleracao de exatos 1 m/s2.

Isaac Newton, por preocupar-se nao apenas com a dinamica dos corpos terrenos mas tambem com a dos corpos celestes, estabeleceu, juntamente com as leis da mecanica classica, a Lei da Gravitacao Universal. A Lei da gravitacao universal suporta-se no fato experimental de que todos os corpos massivos conhecidos ate hoje, pelo simples fato de existirem, atraem outros corpos massivos ao seu redor - e todos os outros do universo, uma vez que a forca gravitacional decai com o quadrado da distancia, e a rigor nunca se anula, por maior que esta seja. A forca de interacao em questao e a conhecida forca gravitacional, sendo esta tambem denominada (de fato em situacoes mais especificas) forca peso.

Na Lei da Gravitacao Universal figura portanto uma massa, a massa gravitacional, uma propriedade que e, assim como a massa inercial, intrinseca a todos os corpos. A definicao operacional de massa gravitacional de um corpo e feita, assim como o ocorrido para o caso da massa inercial, por comparacao entre a massa gravitacional deste corpo e a massa gravitacional de um corpo de referencia, e sao em principio as massas gravitacionais e nao as respectivas massas inerciais que, juntamente com a distancia de separacao entre os corpos, determinam a forca gravitacional entre estes.

O processo de medida da massa gravitacional deve ter por base, logicamente, a forca gravitacional. Atraves de uma balanca de equilibrio nota-se que diferentes corpos sao atraidos de forma diferente quando nas proximidades de um grande corpo massivo - a exemplo de um planeta como a Terra. Em um experimento com uma dessas balancas, observa-se que a balanca "pende" para o lado do objeto mais "pesado", ou seja, para o lado do objeto com maior massa gravitacional. Atraves de uma balanca de braco imersa em um campo gravitacional constante como o criado (nao obrigatoriamente) pela Terra, a determinacao da massa gravitacional de um corpo pode ser feita por comparacao a um padrao unitario de massa gravitacional verificando-se que a massa gravitacional do objeto em teste - colocado em um dos pratos - sera o numero necessario de amostras-padrao a serem colocados no outro prato a fim de que a balanca mostre-se equilibrada.

O corpo-padrao sobre o qual se define a unidade de massa gravitacional acaba sendo, por razao simples a frente discriminada, o mesmo prototipo sobre o qual se define a unidade de massa inercial, o quilograma-padrao. A unidade de massa gravitacional e, portanto, a mesma unidade usada na medida de massa inercial: o quilograma (kg).

A definicao de quilograma (kg) como a unidade de massa gravitacional deve-se a equivalencia experimental entre as massas inerciais e gravitacionais observada em todos os corpos, mas em principio nao ha nada na mecanica ou na gravitacao que obrigue a existencia de tal relacao, e por isto elas devem ser definidas, a priori, de formas separadas.

Um exemplo, hipotetico e irreal, da nao obrigatoriedade da equivalencia entre as massas inercial e gravitacional seria obtido caso admitissemos que a forca gravitacional nao atuasse sobre particulas carregadas eletricamente, e sim sobre particulas estritamente neutras. Nestas condicoes, dois pedacos de uranio confeccionados de forma a terem massas inerciais estritamente iguais, mas compostos por isotopos distintos deste material, a saber uranio U²³⁵ (usado na bomba de Hiroshima) e U²³⁸ (isotopo abundante, usado em reatores), teriam visivelmente massas gravitacionais (e pesos) diferentes, pois o numero de neutrons em uma amostra seria maior do que o numero de neutrons na outra.

A introducao da ideia de campo na Fisica por Michael Faraday representou um avanco formidavel nao so no ramo da eletricidade mas tambem no estudo da gravitacao universal. A ideia fundamental atras do conceito de campo se opoe diretamente ao conceito de acao a distancia. Dados dois entes em interacao, no modelo de acao a distancia cada um dos entes atua diretamente sobre o outro, nao havendo qualquer agente intermediario responsavel por esta interacao. Na visao atraves do modelo de campo, um dos entes em interacao e agora responsavel por criar ao seu redor um terceiro ente fisico, o campo, que sera o mediador da interacao entre ele e o segundo ente. Neste caso, o segundo ente nao mais interage com o primeiro diretamente, e sim com o campo que este criou.

Em algumas bibliografias usa-se o modelo de campo para suportar a definicao de duas massas gravitacionais a principio diferentes: a massa gravitacional ativa e a massa gravitacional passiva, nenhuma das quais, entao, necessariamente igual a massa inercial do corpo associado. Temos entao a seguinte definicao para cada uma delas:

• massa gravitacional ativa: e a massa gravitacional responsavel por "criar" o campo gravitacional ao redor do objeto a ela associado. Quanto maior a massa gravitacional ativa de um objeto pontual, maior e a intensidade do campo gravitacional que ele criaria em um ponto situado a uma distancia arbitraria mas fixa de seu centro. Nestes termos, a massa gravitacional ativa da Terra e bem maior do que a da Lua, pois um pequeno objeto de teste de massa ativa irrelevante (conhecido como corpo de teste), digamos uma bola de basebol, quando situado, de forma alternada, em dois pontos diferentes, cada qual equidistante do centro de um dos astros, sofre uma aceleracao muito maior quando solto no ponto sujeito ao campo criado pela Terra. O mecanismo de medida da massa ativa e o ja considerado, a comparacao: escolhe-se um corpo de prova qualquer mas unico, a ser situado a uma distancia das massas ativas experimentalmente razoavel mas unica, e solta-se o mesmo ora no ponto proximo a um ora na proximidade do outro corpo ativo. Sendo uma das massas ativas a de referencia, a razao entre as aceleracoes apresentadas pelo corpo de prova nos dois casos sera a razao entre as massas gravitacionais dos corpos ativos, o que fornece a massa do outro em relacao a do primeiro;
• massa gravitacional passiva: a massa gravitacional passiva e a massa que responde pela interacao de um objeto com o campo gravitacional (criado por uma massa ativa). A medida da massa passiva e definida dividindo-se o peso do objeto pela aceleracao determinada pelo campo de gravidade. Sabe-se que dois objetos imersos em um mesmo campo gravitacional apresentam a mesma aceleracao, mas verifica-se que um objeto com uma massa gravitacional passiva menor quando comparada a de um outro objeto tambem em analise mostra-se solicitado por uma forca peso tambem menor do que aquela verificada no primeiro objeto. Decorre que o processo de medida da massa passiva e tambem um processo de comparacao, a saber o ja descrito anteriormente na definicao de massa gravitacional, com o possivel uso de uma balanca de braco.

Dentro da dinamica de Newton ha, ao contrario do que ocorre entre massa gravitacional e massa inercial, forte base teorica para se afirmar que as massas gravitacionais ativa e passiva devem ser, em verdade, iguais, ou pelo menos diretamente proporcionais mediante uma constante de proporcionalidade universal. O suporte mais importante para tal fato encontra-se na definicao de forca, que e exatamente a mesma tanto no ambito da teoria da gravitacao universal quanto no ambito da teoria mecanica: forca e a expressao fisica da interacao de DOIS objetos, e um objeto sob a acao de uma forca tem sua dinamica determinada pela Segunda Lei de Newton, qualquer que seja a natureza da interacao entre os corpos. Se assim nao fosse, a teoria da gravitacao destacar-se-ia como uma teoria dinamica a parte, devendo estabelecer nao apenas que existe uma interacao de origem gravitacional entre dois corpos e fornecer a tradicional formula para o calculo da forca que representa esta interacao, como tambem fornecer todo um conjunto de regras (similares ou nao as leis de Newton) que permitissem determinar a dinamica dos corpos que por ventura se encontrassem sobre a acao destas "forcas especiais".

Uma vez estabelecido que a Terceira Lei de Newton vale dentro da dinamica gravitacional, a igualdade, ou melhor, a proporcionalidade entre as massas gravitacionais ativa e passiva e direta. Repare que estas massas nao precisam obrigatoriamente ter o mesmo valor para um dado corpo, pois um fator de proporcionalidade universal poderia ser facilmente "absorvido" dentro da constante de gravitacao universal G que figura na equacao da Lei da Gravitacao Universal. Assim, poder-se-ia, em principio, definir: "a massa gravitacional ativa de qualquer corpo vale sempre o dobro de sua massa passiva". Se assim fosse, um corpo com massa gravitacional passiva de 1 kg teria uma massa gravitacional ativa de 2 kg. Repare entretanto que estabelecendo-se, neste caso, o valor da constante de gravitacao G como tendo a metade do valor que na realidade tem, o fator 2 introduzido na definicao da massa ativa seria cancelado por este fator 1/2 introduzido na constante G original, e a forca gravitacional bem como toda a dinamica fornecida pela segunda lei para estes corpos nao seriam, como um todo, afetadas. Entretanto, podendo-se escolher, fazem-se sempre as escolhas mais simples:

• as massas gravitacionais ativa e passiva de qualquer corpo sao iguais no ambito da mecanica classica;
• o uso dos termos ativo e passivo mostra-se relevante apenas quando, em uma analise baseada em interacao atraves de campos, deseja-se explicitar qual e o corpo fonte de um campo e qual e o corpo que sente este campo.

E fato que, conforme elaboradas por Newton, nao ha nada em toda a estrutura da dinamica e da gravitacao universal que forneca uma razao teorica plausivel para a equivalencia experimentalmente observada entre massa gravitacional e massa inercial. A dinamica newtoniana afirma apenas que as massas gravitacionais sao responsaveis pelas forcas gravitacionais entre dois corpos em interacao gravitacional, sendo estas massas e nao as inerciais as massas usadas na determinacao do modulo destas forcas gravitacionais - um par acao e reacao. Afirma tambem que a massa inercial e a massa utilizada na segunda lei da dinamica, sendo esta massa, e nao a massa gravitacional, a massa utilizada no calculo da aceleracao apresentada pelo corpo quando solicitado por quaisquer forcas - inclusive as de origem gravitacional. A massa presente na equacao fundamental da dinamica (${\displaystyle F=m.a}$) e, pois, a massa inercial.^[42]

Newton foi o primeiro a verificar experimentalmente a equivalencia entre massa inercial e massa gravitacional. A ideia de seu experimento reside nos resultados teoricos da aplicacao das teorias gravitacional e mecanica ao estudo de um pendulo gravitacional simples, que, mantidas explicitas as massas gravitacional e inercial nos calculos, leva a seguinte equacao para o periodo de oscilacao T de um pendulo:

${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\left({\frac {m_{i}L}{m_{g}g}}\right)}}}$

onde ${\displaystyle m_{i}}$ e ${\displaystyle m_{g}}$ referem-se, respectivamente, as massas inercial e gravitacional do corpo suspenso, L ao comprimento do pendulo e g ao modulo da aceleracao da gravidade no local do experimento.

Nesta equacao torna-se evidente que, mantidos constantes o local do experimento - e portanto a aceleracao da gravidade g no local - e o comprimento L do pendulo, uma troca do corpo suspenso no pendulo por outro qualquer que tenha, por simplicidade mas nao obrigatoriedade, uma mesma massa gravitacional m_g, so levara a uma alteracao no periodo do pendulo se a razao ${\displaystyle {\frac {m_{i}}{m_{g}}}}$ for diferente nos diversos corpos, ou seja, se nao houver uma relacao fixa entre a massa gravitacional m_g e a massa inercial m_i.

Na sequencia, Newton construiu um pendulo fixando uma caixa oca e a principio vazia na ponta de uma haste com massa desprezivel. O interior da caixa foi, entao, em uma sequencia de experimentos, enchido com os mais diversos materiais, tendo Newton sempre o cuidado de encher o pendulo de forma que este tivesse, depois de cheio, sempre a mesma massa gravitacional m_g (o pendulo era pesado). Os periodos dos diversos pendulos assim obtidos foram, satisfeitos os rigores experimentais associados ao experimento, a citar a manutencao, em valores constantes e adequados, do local, da amplitude A do movimento, e do comprimento L da corda, entao medidos.

Consideradas as incertezas experimentais inerentes, Newton nao observou qualquer alteracao nos periodos dos diversos pendulos por ele construidos e, ao faze-lo, estabeleceu a igualdade entre as massas inercial e gravitacional ate a terceira casa decimal (precisao de cerca de 1 parte em 10³).

Uma vez estabelecida a igualdade entre as duas massas, a equacao para o periodo do pendulo se reduz a:

${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\left({\frac {L}{g}}\right)}}}$

que e a equacao encontrada em qualquer livro de fisica de ensino medio.^[43]

.

Gracas a equivalencia entre as massas inercial e gravitacional ha uma completa independencia entre o periodo de oscilacao T de um pendulo (oscilando com pequenas amplitudes) e a massa do corpo nele suspenso. Assim, mantidos o comprimento L e a aceleracao da gravidade no local do experimento, qualquer que seja a massa que se coloque na ponta de um pendulo, o seu periodo de oscilacao T sera o mesmo. Uma alteracao no periodo T requer ou uma alteracao no comprimento L do pendulo, ou uma alteracao na aceleracao da gravidade no local onde realiza-se a experiencia. Como a aceleracao da gravidade terrestre no local, suposto fixo, tambem e constante, o periodo T de um pendulo mostra-se influenciavel em primeira ordem apenas por alteracoes em seu comprimento L.

Em consequencia, os relogios "cuco" tem por base de tempo as oscilacoes de pendulos, os quais sao ajustados, uma vez em seus respectivos locais de trabalho, mediante pequenas mudancas nos seus comprimentos L. Pendulos mostram-se tambem como bons equipamentos para a determinacao, com razoavel precisao, da gravidade em um dado local.

Um consideravel avanco experimental na busca da afirmacao de igualdade entre as massas inercial e gravitacional foi feito por Lorand Eotvos em 1909.^[44] Utilizando uma balanca de torcao ele realizou uma sequencia de experimentos que resultou em uma consideravel reducao na incerteza desta afirmacao, sendo seus resultados compativeis com uma incerteza menor que 1 parte em 10⁹ (1 milhao de vezes mais precisa do que a obtida por Newton).

Eotvos colocou diferentes materiais nas extremidades de sua balanca de torcao e comparou, para cada material, a sua massa gravitacional (o seu "peso") e a sua massa inercial, determinada a partir da forca inercial centrifuga devida a rotacao da Terra. Qualquer diferenca entre estas duas massas seria observada como uma rotacao da balanca de torcao. Tal rotacao, dentro dos limites experimentais, nao foi observada.

A ideia do uso da balanca de torcao para a determinacao da igualdade entre as massas inercial e gravitacional foi retomada, em 1964, por um cientista de nome, Robert H. Dicke, e em 1972 por Vladimir Braginsk. Com refinamentos que agora levavam em conta, entre outros, a atracao gravitacional do Sol, e a forca inercial associada a orbita da Terra ao redor do sol, estes cientistas conseguiram ao fim afirmar que a massas inercial e gravitacional sao iguais com uma incerteza menor do que 1 parte em 10¹¹, refinando em pelo menos 100 vezes a incerteza anteriormente obtida por Eotvos.

"Eu estava sentado em uma cadeira no escritorio de patentes, em Berna, quando de repente ocorreu-me um pensamento: se uma pessoa cair livremente, ela nao sentira seu proprio peso. Eu estava atonito. Este simples pensamento impressionou-me profundamente. Ele me impeliu para uma teoria da gravitacao." (Albert Einstein)

Talvez a mais forte evidencia a favor da veracidade da afirmacao entre a igualdade das massas inercial e gravitacional encontre-se em um fato inicialmente observado por Galileu Galilei, e eternizado na famosa experiencia da Torre de Pisa. Uma vez estabelecido um local onde haja um campo gravitacional conhecido, a exemplo um ponto na superficie da Terra, verifica-se experimentalmente que TODOS os objetos caem, quaisquer que sejam as suas massas, materiais constituintes ou volumes, quando soltos em queda livre a partir de um mesmo ponto, exatamente com a MESMA aceleracao. Conforme visto, se houvesse realmente alguma diferenca entre massa gravitacional e massa inercial, um corpo que, a exemplo, apresentasse massa inercial razoavelmente maior do que sua massa gravitacional deveria, em seu processo de queda, apresentar uma aceleracao mensuravelmente menor do que a que seria observada em um corpo no qual a massa gravitacional fosse maior que (ou pelo menos nao tao diferente da) sua massa inercial.

Esta ultima ideia encontra enfronhada na citada frase de Einstein pois, associada os diversos materiais que compoem o corpo humano, levaria a forcas de contato entre os diversos sistemas do corpo quando este estivesse em queda livre. Tomemos a exemplo o sistema osseo e o sistema muscular. Caso as razoes entre as massas inercial e gravitacional fossem diferentes nos dois sistemas, haveria obrigatoriamente uma forca de contato entre estas estruturas a fim de se manter a unicidade do corpo durante a queda. Sendo o nosso sentido de tato sensivel justamente a estas forcas, estas fariam com que as pessoas "sentissem" a suas proprias quedas, fato que nao e, entretanto, observado.

O Principio da Equivalencia entre as massas inercial e gravitacional guarda uma intima relacao com o Principio da Equivalencia de Einstein, ponto de partida para a construcao de uma teoria de gravitacao covariante em relacao a qualquer referencial: a Relatividade Geral.

Uma vez estabelecida a equivalencia entre massa inercial e massa gravitacional, o termo massa, dentro da dinamica newtoniana, passa a representar, de forma implicita, o termo mais adequado a situacao.

No ambito da mecanica classica considera-se que a massa, uma propriedade da materia, e constante, nao podendo ser criada e nem destruida, apenas transportada. Diversas leis, a exemplo das leis de Newton e de Lavoisier (massa dos reagentes e igual a massa dos produtos), tomam partido desse fato que, mantidas as fronteiras impostas pela mecanica classica, mostra-se plenamente veridico no cotidiano.

Entretanto a ideia de conservacao e de associacao entre massa e materia falha de forma consideravel em outros campos que nao o da mecanica classica, e em areas sujeitas as leis da fisica de particulas, da mecanica quantica e da relatividade, esta acaba substituida ("englobada") por uma lei mais fundamental, a lei da conservacao de energia. Nestas areas massa mostra-se equivalente a energia, e a equacao E=mc2 torna-se indispensavel para estabelecer-se a citada lei de conservacao.

(1) "As leis dos fenomenos eletromagneticos, bem como as leis da mecanica, sao as mesmas em todos os sistemas de referencias inerciais, apesar de estes sistemas se moverem uns em relacao aos outros. Consequentemente, todos os referenciais inerciais sao completamente equivalentes para todos os fenomenos."

(2) "A velocidade da luz no vacuo independe do movimento do observador e do movimento da fonte."

Conforme encontrados em Fisica Quantica (Eisberg, Robert et. al.),^[45][46] os postulados da Relatividade Restrita parecem simples. Entretanto esta simplicidade esconde um intrincado conjunto de ideias e fatos que, derivados de inconsistencias entre as teorias da mecanica classica e do eletromagnetismo classico, e de inconsistencias, o que e bem mais serio, entre estas teorias e fatos experimentais entao estabelecidos, culminaram com a necessidade de uma nova proposta para a compreensao da dinamica da materia (e energia). A simplicidade dos postulados esconde tambem consequencias em verdade nada simples e que fogem bem ao senso de mundo que temos normalmente. Fatos como dilatacao do tempo, contracao do espaco, e uma nova "definicao" de massa encontram-se bem distantes da percepcao de mundo de um "simples mortal".

Ao ser elaborada a relatividade restrita acabou herdando varios dos conceitos antes existentes em mecanica classica, o que faz sentido visto que a mecanica classica foi um paradigma para a dinamica que perdurou por quase trezentos anos sem encontrar qualquer evidencia experimental que nao fosse condizente com sua proposta, sendo portanto uma teoria para a dinamica que se ajusta plenamente aos fatos observaveis do "mundo em que vivemos", e dentro de certos limites plenamente valida ainda hoje. Qualquer nova teoria dinamica que pretenda estender a compreensao ate entao fornecida pela mecanica classica devera portanto necessariamente apresentar resultados que concordem com os por ela fornecidos quando dentro dos limites de sua validade, ou seja, em um mundo macroscopico e de baixas velocidades quando comparadas a da luz.

A mais importante heranca recebida pela relatividade restrita da mecanica classica e o conceito de referencial inercial sobre o qual esta nova teoria tambem se estabelece, sendo a relatividade restrita, portanto, uma teoria ainda nao completamente covariante. Tal covariancia geral so sera alcancada no ambito da Relatividade Geral.

Na sequencia, uma segunda heranca direta da mecanica classica e que se traduz dentro da relatividade restrita por massa de repouso ${\displaystyle m_{0}}$ e o conceito classico de massa inercial, sendo esta definida dentro da relatividade restrita como a massa medida para um objeto quando este se encontre em repouso em relacao ao referencial inercial a partir do qual se estabelece a medida, ou seja, com velocidade praticamente nula e assim completamente desprezivel quando comparada a da luz - condicao que implica o limite de validade da mecanica classica. Assim:

a massa de repouso ${\displaystyle m_{0}}$, apesar de constituir um conceito com validade global dentro da teoria relativistica, e a massa de um objeto estabelecida em condicoes que, dentro da mecanica relativistica, impliquem tambem a validade da mecanica classica e de seu conceito de massa inercial, sendo esta entao definida como igual a massa inercial classica estabelecida para o corpo: ${\displaystyle m_{0}=m}$.

No ambito da relatividade restrita a massa de repouso (ou simplesmente massa) de uma particula ou sistema pode ser obtida atraves da expressao:

${\displaystyle m_{o}={\frac {\sqrt {E^{2}-\left(pc\right)^{2}}}{c^{2}}}}$

onde E e a energia total do sistema, P e o momento total do sistema e c a velocidade da luz.

A massa de repouso ${\displaystyle m_{0}}$ tem papel fundamental nas expressoes relativisticas, mas ha uma segunda massa na relatividade restrita igualmente importante: a massa relativistica M, tradicional em livros de Fisica. De fato ha pelo menos mais duas definicoes de massa na relatividade: a longitudinal ${\displaystyle M_{l}}$ e a transversal ${\displaystyle M_{t}}$.

E demonstravel que a relatividade herda tambem o conceito de massa em sua definicao geral m = ( d2E / dP2 )-1 - o que da origem a uma das assim chamadas massas relativisticas - bem como o conceito de forca F = dP / dt da mecanica newtoniana. Contudo, estranhamente, a relatividade nao herda a lei fundamental da dinamica de Newton, ${\displaystyle \mathbf {F} =m{\dot {\mathbf {a} }}}$, em sua forma geral, mesmo considerando-se a massa como sendo a massa relativistica e nao a inercial nessa expressao.

Na relatividade, de forma totalmente alheia ao que se tem no cotidiano, forca e aceleracao nem sempre sao paralelos, e isso traz algumas consideracoes quanto a interpretacao da massa relativistica: embora esteja correto falar que ela se traduz em uma boa medida da inercia de um corpo na situacao, encerrando em si o fato que energia (cinetica nesse caso) tambem possui inercia, a afirmacao deve ser feita com ressalvas, visto a nao validade em integra da segunda lei de Newton na relatividade.

A relatividade restrita, sendo uma nova teoria sobre dinamica, estabeleceu novas regras que substituiram as Leis de Newton quando fora do limite classico, e foram elaboradas, conforme discutido, de forma que se reduzissem a elas quando nos limites onde a mecanica classica vale. Estas novas leis, mais abrangentes, foram tambem estabelecidas de forma a tornar nao so a dinamica da materia como tambem as leis da dinamica da energia invariantes a mudanca de referencial, leis ultimas expressas por um conjunto de equacoes que constituem ainda hoje o pilar fundamental da teoria eletromagnetica classica, as Equacoes de Maxwell.^[47]

Dentro deste contexto, nos limites onde as leis da mecanica nao valem, o conceito classico de momento (${\displaystyle {\vec {P}}=m{\vec {V}}}$) nao se mostra mais associado a uma lei de conservacao, e a elaboracao de um novo conceito de momento condizente com as leis da relatividade restrita e tambem com a existencia de uma lei de conservacao associada levou a definicao do que se denomina momento relativistico. O momento relativistico P, que satisfaz conforme definido a citada lei de conservacao, e definido por:

${\displaystyle \mathbf {p} ={\frac {m_{o}\,\mathbf {v} }{\sqrt {1-\mathbf {v} ^{2}/c^{2}}}}=M\,\mathbf {v} \,.}$

Comparando-se estas e varias outras equacoes da dinamica relativistica com as respectivas equacoes da dinamica classica, tem-se a intuicao que se pode derivar as leis da dinamica relativistica substituindo a massa inercial m nas equacoes para a mecanica classica pelo que se convencionou chamar massa relativistica ${\displaystyle M}$:

${\displaystyle M={\frac {m_{o}}{\sqrt {1-\mathbf {v} ^{2}/c^{2}}}}\,.}$

onde ${\displaystyle \mathbf {v} }$ representa a velocidade da particula em relacao ao referencial (inercial) de analise, e ${\displaystyle m_{o}}$, a massa de repouso antes definida.

Na equacao para a massa relativistica vemos que esta massa e explicitamente dependente de sua velocidade, e, visto que maiores valores de velocidade nesta equacao implicam maiores valores para a massa relativistica, indo esta ao infinito no limite que a velocidade ${\displaystyle \mathbf {v} }$ do objeto iguala-se a velocidade da luz C, nao e incomum encontrar-se pessoas ligadas a area cientifica dizendo que "a massa aumenta a altas velocidades".

O fato e que, apesar de intuitivo - e de muitas das vezes levar a analogias que podem mostrar-se validas - uma simples substituicao da massa inercial classica pela massa relativistica leva, na maioria das vezes a resultados completamente falsos. Vejamos o que ocorre com a forca e com a equacao de Newton nesta perspectiva.

A relatividade "herda" a definicao de forca em sua forma mais abrangente que, junto com a definicao do momento relativistico, resulta:

${\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}={\frac {m_{o}\,\mathbf {a} }{\sqrt {1-\mathbf {v} ^{2}/c^{2}}}}+{\frac {m_{o}\,\mathbf {v} \,(\mathbf {v} \cdot \mathbf {a} )}{c^{2}\,({\sqrt {1-\mathbf {v} ^{2}/c^{2}}})^{3}}}}$

ou, de forma equivalente, usando a definicao de massa relativistica e de uma nova massa, a massa longitudinal ${\displaystyle M_{l}}$

${\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}=M\mathbf {a} +M_{l}\,({\frac {\mathbf {v\cdot \mathbf {a} } }{c}})\,{\frac {\mathbf {v} }{c}}}$

Notoriamente a forca que se observa atuando em um corpo que se move com uma velocidade ${\displaystyle (\mathbf {v} )}$ nao pode ser derivada pela simples substituicao da expressao da massa relativistica na lei da dinamica de Newton F=ma. A forca na mecanica relativistica apresenta duas componentes: uma condizente com a "proposta" em integra da segunda lei de Newton, paralela a aceleracao apresentada pelo corpo, e outra, que nos diz que ha tambem forca na direcao da velocidade do objeto, termo que nao condiz com a "proposta" e tao menos com a mecanica classica.

Outra incoerencia associada a definicao de massa relativistica pode ser obtida quando esta e substituida na Lei da Gravitacao de Newton. Conforme estruturada, a dinamica da relatividade restrita estabelece a dinamica dos corpos e energia apenas em situacoes completamente isentas de campos gravitacionais, e uma equacao para a lei da gravitacao nao figura dentro do ambito da relatividade restrita. A associacao de uma teoria de gravitacao a da relatividade restrita nos leva diretamente a relatividade geral.

Assim, conforme traducao do expresso em Classical Daynamics (Thornton et. al), "Nos preferimos nos reter o conceito de massa como uma grandeza invariante, uma propriedade intrinseca dos corpos. O uso dos dois termos, massa de repouso e massa relativistica, e hoje considerado obsoleto. Portanto nos sempre iremos nos referir apenas ao termo massa, o qual equivale a massa de repouso. O uso da massa relativistica geralmente conduz a erros ao se usar expressoes classicas.".^[48]

Cada coisa ao seu lugar, nao se pode negar, contudo, que as massas relativisticas como tal tiveram um papel historico fundamental no desenvolvimento da teoria; e por fato tem-se que as massas relativisticas, seguindo-se as definicoes gerais de massa e forca, sao definidas, e sao validas, dentro da relatividade restrita. Algumas definicoes da mecanica newtoniana, como a segunda lei de newton e a lei da gravitacao, e que nao sao genericamente validas, como visto.

Isso faz com que o uso do conceito de massa relativistica deva ser, sim, parcimonioso, mas nao suprimido dentro da teoria. No pior dos cenarios, a massa relativistica e no minimo uma relacao mnemonica muito util quando se trata de varias das equacoes encontradas na relatividade restrita; o que ja justificaria sua definicao.

Nao ha jeito. Para podermos entender os conceitos de massa dentro da mecanica relativistica temos primeiro que entender como sao feitos os calculos da dinamica de uma particula dentro da relatividade; o que delongar-se-a um pouco.

Comecemos pelo fundamental: dissemos outrora, e a equacao da forca na mecanica relativistica acima apresentada nos mostra, que aceleracao e forca, na maioria dos casos, nem sempre estao na mesma direcao dentro da relatividade. Por que nao? Dada uma aceleracao, por exemplo, como calcular a forca que, ao atuar na particula, a provoca; sobretudo quando a particula tem uma velocidade consideravel? Ou vice versa: dada uma forca atuando em uma particula relativistica, como determinar a aceleracao?

Por que, na relatividade restrita, forca e aceleracao, na maioria dos casos, nao estao na mesma direcao; ao passo que na mecanica classica essa e uma condicao sempre satisfeita? O que ha por tras?

Para compreendermos isso, vejamos que a principal diferenca entre a aplicacao da mecanica classica e da mecanica relativistica esta na elevada velocidade ${\displaystyle \mathbf {v} }$ da particula no segundo caso, sendo a direcao e sentido de ${\displaystyle \mathbf {v} }$ o ponto de partida para orientacao espacial no problema, portanto.

Tanto em relatividade quanto em mecanica classica pressupoe-se a validade da algebra vetorial, de forma que um vetor possa ser expresso como a soma de suas componentes ortogonais; por razoes aqui de ser escolhidas, propositalmente, uma na direcao da velocidade, outras perpendiculares a ela. O numero de vetores da base ortonormal e dependente da dimensao do problema: 2 ou 3 geralmente. Por simplicidade mas sem perda de generalidade, sigamos com dimensao bidimensional.

Um vetor inclinado e pois, no nosso problema, substituido agora pela soma vetorial de dois vetores: um perpendicular e outro paralelo a ${\displaystyle {\vec {v}}}$; as componentes do vetor inclinado . Sendo a lagebra vetorial linear, tudo o que se obtinha analisando o vetor em si pode-se obter agora analisando-se as suas componentes individualmente e combinando-se as parcelas resultantes. Na analise via componentes obtem-se os mesmos resultados esperados, por principio.

Repare que, ao escalar as magnitudes (modulos) das componentes paralela e perpendicular por um mesmo fator escalar ${\displaystyle \alpha }$, escalamos a magnitude do vetor inclinado pelo mesmo fator ${\displaystyle \alpha }$, sem contudo alterar a direcao inicial do vetor inclinado.

Se decompusermos um vetor inclinado em suas componentes e aplicarmos fatores escalares diferentes, um em cada componente do vetor, alem de escalar a magnitude do vetor inicial por um terceiro fator geralmente diferente dos anteriores, o vetor inicial tambem muda de direcao, sofrendo rotacao. O vetor resultante e o inicial nao tem mais a mesma direcao ou magnitude. O fator de escala e o angulo de rotacao aplicados ao vetor inicial sao funcoes dos dois fatores escalares distintos aplicados cada qual a uma componente.

Analisemos a dinamica classica e a relativistica sobre a otica das componentes dos vetores em si, nao dos vetores inclinados propriamente ditos.

Calcular o vetor forca na mecanica classica nada mais e do que escalar o vetor aceleracao correspondente por um escalar m, pois ${\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} }$. Isso significa, em termos de componentes, que as componentes paralela e perpendicular do vetor aceleracao sao sempre escalados por um mesmo fator m, visto ser a forca sempre paralela a respectiva aceleracao para qualquer par relacionado desses vetores, por definicao. Matematicamente, na mecanica classica:

${\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} =m(\mathbf {a} _{x}+\mathbf {a} _{y})=m\mathbf {a} _{x}+m\mathbf {a} _{y}=\mathbf {F} _{x}+\mathbf {F} _{y}}$

Em suma, na mecanica classica, como esperado, a segunda lei de Newton vale individualmente para cada componente da forca e respectiva componente da aceleracao, desde que ambas as componentes sejam escaladas pelo mesmo fator m, entretanto. Em termos de linguagem, dizer-se-ia que:

a massa nos calculos das componentes da forca ou aceleracao paralelas a velocidade - que denominaremos massa longitudinal - e igual a massa para os calculos das componentes da forca ou aceleracao perpendiculares a velocidade - que doravante denominaremos massa transversal - no ambito da mecanica classica^[16].

Eis pois o que ja se supunha. Da definicao de forca como derivada do momento em relacao ao tempo para a relatividade pode-se demonstrar que a relatividade restrita herda, de forma especifica, a segunda lei de Newton quando se esta a tratar ou das componentes paralelas ou das componentes perpendiculares dos vetores forca e aceleracao em relacao a velocidade, mas o fator de escala - a massa - nao e simultaneamente o mesmo em cada caso.

a massa nos calculos das componentes de forca ou aceleracao paralelas a velocidade - a massa longitudinal - geralmente "nao" e igual a massa para os calculos das componentes da forca ou aceleracao perpendiculares a velocidade - a massa transversal - no ambito da mecanica relativistica.

Pois bem: como resolver um problema em relatividade? Uma das formas e a seguinte. Dada a forca, a velocidade ${\displaystyle \mathbf {v} }$ em que a particula se encontra e a massa de repouso ${\displaystyle m_{0}}$, decompoem-se a forca em suas componentes perpendicular e paralela a velocidade, calculam-se as massas transversal e longitudinal, aplica-se a segunda lei a cada componente em particular da forca, determinando-se as respectivas componentes da aceleracao, e a partir das componentes da aceleracao, calcula-se o vetor aceleracao resultante. Se fosse solicitada a forca a partir da aceleracao, os calculos seguem raciocinio analogo. Decomponha a aceleracao, calcules as componentes da forca mediante segunda lei para cada caso, e por fim a forca em si, somando-se as componentes.

Pelo fato das massas transversal e longitudinal nao terem geralmente o mesmo valor na relatividade restrita, tem-se que a relatividade nao herda a segunda lei de newton de maneira generalizada. Mas ela herda sim a segunda lei nos casos especificos ou das componentes perpendiculares ou das componentes paralelas dos vetores envolvidos em relacao a velocidade.

Matematicamente, na relatividade:

${\displaystyle \mathbf {F} _{l}=M_{l}\mathbf {a} _{l}}$

${\displaystyle \mathbf {F} _{t}=M_{t}\mathbf {a} _{t}}$

$$




F

=


F


l


+


F


t


=

M

l




a


t


+

M

l




a


t




{\displaystyle \mathbf {F} =\mathbf {F} _{l}+\mathbf {F} _{t}=M_{l}\mathbf {a} _{t}+M_{l}\mathbf {a} _{t}}


$$




a

=


a


l


+


a


t


=




F


l



M

l




+




F


t



M

t






{\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {a} _{l}+\mathbf {a} _{t}={\frac {\mathbf {F} _{l}}{M_{l}}}+{\frac {\mathbf {F} _{t}}{M_{t}}}}

onde l e t sao indices que indicam, conforme popularizado na literatura sobre o assunto, longitudinal (paralelo) e transversal (perpendicular) a velocidade ${\displaystyle \mathbf {v} }$ da particula em analise; e ${\displaystyle M_{l}}$ e ${\displaystyle M_{t}}$ sao as massas longitudinal e transversal, respectivamente.

Ha portanto, em relatividade, a principio, quatro massas envolvidas na dinamica: a massa relativistica M (sem indice) outrora definida nesse artigo, a massa transversal ${\displaystyle M_{t}}$, a massa longitudinal ${\displaystyle M_{l}}$ e a massa de repouso ${\displaystyle m_{0}}$.

De fato mostrar-se-a, apos calculos das massas transversal e longitudinal efetuados abaixo, que a massa relativistica de fato iguala-se a massa transversal, de forma que ha tres massas distintas na dinamica relativistica.

Ha varios metodos para os calculos das massas transversao e longitudinal como funcao ou do momento ou da velocidade dentro da relatividade.

Utilizando-se a definicao geral de massa a partir da relacao de dispersao pode-se calcular a massa longitudinal, a exemplo; e por demais consideracoes, a transversal.

Outro metodo da-se a partir da definicao formal de forca e de momento dentro da teoria. Facamos primeiro esse.

Tomemos por ponto de partida as ja apresentadas definicoes de forca e momento linear relativisticos, bem como a definicao de aceleracao:

$$




a

=



d

v



d
t





{\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}}


$$




p

=




m

o




v



1
-


v


2



/


c

2







{\displaystyle \mathbf {p} ={\frac {m_{o}\,\mathbf {v} }{\sqrt {1-\mathbf {v} ^{2}/c^{2}}}}}


$$




F

=




d


p




d

t





{\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}}

Em busca de algo parecido com a segunda lei de Newton dentro da relatividade, calcularemos primeiro a equacao de forca como funcao da aceleracao para uma particula relativistica. Devemos substituir o momento ${\displaystyle \mathbf {p} }$ na definicao definicao geral de forca. Contudo, antes da substituicao, utilizaremos a regra da cadeia, de forma que a definicao de forca se transforme em:

${\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} \mathbf {v} }}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} \mathbf {v} }}\mathbf {a} }$

explicitando assim a aceleracao na equacao e tornando o problema mais simples, visto que a derivada do momento se calcula agora em relacao a velocidade - a variavel na qual o momento encontra-se definido - e nao ao tempo.

Calculando-se a derivada de ${\displaystyle \mathbf {p} }$ em relacao a ${\displaystyle \mathbf {v} }$ via regra da cadeia:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} \mathbf {v} }}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \mathbf {v} }}({\frac {m_{o}\,\mathbf {v} }{\sqrt {1-\mathbf {v} ^{2}/c^{2}}}})={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \mathbf {v} }}[m_{o}({1-\mathbf {v} ^{2}/c^{2}})^{-{\frac {1}{2}}}\,\mathbf {v} ]=[m_{0}\,({1-\mathbf {v} ^{2}/c^{2}})^{-{\frac {1}{2}}}]+m_{o}\,\mathbf {v} {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \mathbf {v} }}[({1-\mathbf {v} ^{2}/c^{2}})^{-{\frac {1}{2}}}]}$

A derivada ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \mathbf {v} }}[({1-\mathbf {v} ^{2}/c^{2}})^{-{\frac {1}{2}}}]}$ vale:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \mathbf {v} }}[({1-\mathbf {v} ^{2}/c^{2}})^{-{\frac {1}{2}}}]=-{\frac {1}{2}}({1-\mathbf {v} ^{2}/c^{2}})^{-{\frac {3}{2}}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \mathbf {v} }}({1-\mathbf {v} ^{2}/c^{2}})=-{\frac {1}{2}}({1-\mathbf {v} ^{2}/c^{2}})^{-{\frac {3}{2}}}({\frac {-2\mathbf {v} }{c^{2}}})={\frac {\mathbf {v} }{c^{2}({1-\mathbf {v} ^{2}/c^{2}})^{\frac {3}{2}}}}}$

Fazendo a substituicao do resultado da linha acima na linha anterior e explicitando o denominador na primeira parcela ficamos com:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} \mathbf {v} }}={\frac {m_{0}}{({1-\mathbf {v} ^{2}/c^{2}})^{\frac {1}{2}}}}+{\frac {m_{0}\mathbf {v} \mathbf {v} }{c^{2}({1-\mathbf {v} ^{2}/c^{2}})^{\frac {3}{2}}}}}$

Donde, lembrando-se a primeira linha para o calculo de ${\displaystyle \mathbf {F} }$:

${\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}={\frac {m_{0}\mathbf {a} }{({1-\mathbf {v} ^{2}/c^{2}})^{\frac {1}{2}}}}+{\frac {m_{0}\mathbf {v} \mathbf {v} \mathbf {a} }{c^{2}({1-\mathbf {v} ^{2}/c^{2}})^{\frac {3}{2}}}}}$

O que nos leva a equacao para a forca em funcao da aceleracao ja apresentada em secao anterior.

$$




F

=




d


p




d

t



=




m

o




a



1
-


v


2



/


c

2





+




m

o




v


(

v



a

)



c

2



(


1
-


v


2



/


c

2





)

3







{\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}={\frac {m_{o}\,\mathbf {a} }{\sqrt {1-\mathbf {v} ^{2}/c^{2}}}}+{\frac {m_{o}\,\mathbf {v} \,(\mathbf {v} \cdot \mathbf {a} )}{c^{2}\,({\sqrt {1-\mathbf {v} ^{2}/c^{2}}})^{3}}}}

A primeira coisa a analisar e que, no numerador da segunda parcela, aparece o produto escalar ${\displaystyle (\mathbf {v} \cdot \mathbf {a} )}$ entre ${\displaystyle \mathbf {v} }$ e ${\displaystyle \mathbf {a} }$. Quando ${\displaystyle \mathbf {v} }$ e ${\displaystyle \mathbf {a} }$ forem perpendiculares, esse produto se anula, eliminando a segunda parcela na expressao acima. Ficamos pois com:

$$





F


t


=

M

t




a


t


=




m

o





1
-


v


2



/


c

2







a


t




{\displaystyle \mathbf {F} _{t}=M_{t}\mathbf {a} _{t}={\frac {m_{o}\,}{\sqrt {1-\mathbf {v} ^{2}/c^{2}}}}\mathbf {a} _{t}}

Repare que forca e nesse caso sempre paralela a aceleracao, ambas perpendiculares a velocidade.

Demonstra-se assim, por comparacao direta a ${\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} }$, que, nesse caso em particular, a segunda lei de Newton e aplicavel dentro da relatividade. A comparacao tambem nos diz que a massa transversal, como ja descrita em secao anterior, deve valer:

$$





M


t


=
M
=




m

o





1
-


v


2



/


c

2







{\displaystyle \mathbf {M} _{t}=M={\frac {m_{o}\,}{\sqrt {1-\mathbf {v} ^{2}/c^{2}}}}}

Repare que, por coincidencia, a massa transversal iguala-se a antes definida massa relativistica ${\displaystyle M=M_{t}}$.

Podemos determinar agora a massa longitudinal ${\displaystyle M_{l}}$. Suporemos a velocidade em uma direcao particular representada pelo vetor unitario ${\displaystyle \mathbf {x} }$, de forma que a aceleracao, suposta agora paralela a velocidade, se escreva ${\displaystyle \mathbf {a} =a\mathbf {x} }$ e e claro, ${\displaystyle \mathbf {v} =v\mathbf {x} }$.

Levando isso na equacao da forca em funcao da aceleracao, e notando que o produto escalar ${\displaystyle \mathbf {x} \cdot \mathbf {x} }$ e unitario, ficamos com:

${\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {m_{o}}{\sqrt {1-\mathbf {v} ^{2}/c^{2}}}}a\mathbf {x} +{\frac {m_{o}\,v\,v(\mathbf {x} \cdot \mathbf {x} )}{c^{2}\,({\sqrt {1-\mathbf {v} ^{2}/c^{2}}})^{3}}}a\mathbf {x} =[{\frac {m_{o}}{\sqrt {1-\mathbf {v} ^{2}/c^{2}}}}+{\frac {m_{o}\,v^{2}}{c^{2}\,({\sqrt {1-\mathbf {v} ^{2}/c^{2}}})^{3}}}]\,a\mathbf {x} }$

Visto o termo entre colchetes ser um escalar, verifica-se que novamente se obtem a validade da segunda lei em um caso particular dentro da relatividade: quando a aceleracao e paralela a velocidade. Neste caso a forca e sempre paralela a aceleracao, e por comparacao direta com ${\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} }$, obtem-se que o termo entre colchetes na expressao final acima deve corresponder a procurada massa longitudinal.

${\displaystyle M_{l}=[{\frac {m_{o}}{\sqrt {1-\mathbf {v} ^{2}/c^{2}}}}+{\frac {m_{o}\,v^{2}}{c^{2}\,({\sqrt {1-\mathbf {v} ^{2}/c^{2}}})^{3}}}]}$

Reduzindo a um denominador comum e procedendo-se com as simplificacoes no numerador obtem-se:

${\displaystyle M_{l}=[{\frac {m_{o}}{\sqrt {1-\mathbf {v} ^{2}/c^{2}}}}+{\frac {m_{o}\,v^{2}}{c^{2}\,({\sqrt {1-\mathbf {v} ^{2}/c^{2}}})^{3}}}]=[{\frac {m_{o}({1-v^{2}/c^{2}})}{({\sqrt {1-\mathbf {v} ^{2}/c^{2}}})^{3}}}+{\frac {m_{o}\,v^{2}/c^{2}}{({\sqrt {1-\mathbf {v} ^{2}/c^{2}}})^{3}}}]=[{\frac {m_{o}}{({\sqrt {1-\mathbf {v} ^{2}/c^{2}}})^{3}}}]}$

A massa longitudinal sera pois dada por:

$$




M

l


=



m

o



(


1
-


v


2



/


c

2





)

3







{\displaystyle M_{l}={\frac {m_{o}}{({\sqrt {1-\mathbf {v} ^{2}/c^{2}}})^{3}}}}

e

$$





F


l


=

M

l




a


l


=



m

o



(


1
-


v


2



/


c

2





)

3







a


l




{\displaystyle \mathbf {F} _{l}=M_{l}\mathbf {a} _{l}={\frac {m_{o}}{({\sqrt {1-\mathbf {v} ^{2}/c^{2}}})^{3}}}\mathbf {a} _{l}}

para o caso onde a aceleracao e paralela a velocidade.

Calcularemos abaixo, a titulo de demonstracao, a partir da definicao geral de massa, a massa para uma particula relativistica livre.

Dos livros sobre o assunto tem-se que a definicao geral de massa, a relacao de dispersao e o momento relativistico para uma particula livre com massa de repouso ${\displaystyle m_{0}}$, momento ${\displaystyle \mathbf {p} }$ e energia total E sao dados, dentro da relatividade, respectivamente, pelas expressoes:

$$




M

l


=
(




d

2


E


d

p

2






)

-
1




{\displaystyle M_{l}=({\frac {d^{2}E}{dp^{2}}})^{-1}}


$$



E
=



m

0


2



c

4


+


p


2



c

2






{\displaystyle E={\sqrt {m_{0}^{2}c^{4}+\mathbf {p} ^{2}c^{2}}}}

e
$$




p

=




m

o




v



1
-


v


2



/


c

2







{\displaystyle \mathbf {p} ={\frac {m_{o}\,\mathbf {v} }{\sqrt {1-\mathbf {v} ^{2}/c^{2}}}}}

Vale antes um comentario. A definicao geral de massa apresentada nos fornecera qual das massas relativisticas? Como vimos, ha quatro.

A resposta a essa questao vem do fato que a definicao geral de massa pressupoe em seu argumento que, se a massa nao e nula, a energia E esteja a variar quando o momento ${\displaystyle \mathbf {p} }$ da particula varia.

Pode-se mostrar, conforme sera discutido em secao seguinte, que a relatividade tambem herda da mecanica classica a definicao de trabalho de uma forca e o teorema do trabalho-energia. Assim, forcas perpendiculares a velocidade nao realizam trabalho, embora alterem o momento da particula.

A unica forca que provoca variacoes de energia (e tambem de momento) e a forca paralela a velocidade. Ja vimos que nesse caso a forca e a aceleracao sao sempre paralelos, e a massa relativistica associada e a massa longitudinal ${\displaystyle M_{l}}$. Logo, seguindo-se a definicao geral de massa, espera-se calcular a massa longitudinal da particula relativistica.

Assim sendo, a massa longitudinal, segundo a definicao geral, sera dada por:

${\displaystyle M_{l}=({\frac {d^{2}E}{dp^{2}}})^{-1}=[{\frac {d^{2}}{dp^{2}}}({\sqrt {m_{0}^{2}c^{4}+\mathbf {p} ^{2}c^{2}}})]^{-1}=\{{\frac {d^{2}}{dp^{2}}}[(m_{0}^{2}c^{4}+\mathbf {p} ^{2}c^{2})^{\frac {1}{2}}]\}^{-1}}$

Calculando-se a primeira derivada da energia em relacao ao momento tem-se que:

${\displaystyle {\frac {dE}{dp}}={\frac {d}{dp}}[(m_{0}^{2}c^{4}+\mathbf {p} ^{2}c^{2})^{\frac {1}{2}}]={\frac {cp}{(m_{0}^{2}c^{2}+p^{2})^{\frac {1}{2}}}}=cp\,(m_{0}^{2}c^{2}+p^{2})^{-{\frac {1}{2}}}}$

Calculando-se a derivada em relacao ao momento do resultado acima tem-se:

${\displaystyle {\frac {d}{dp}}({\frac {dE}{dp}})={\frac {d^{2}E}{dp^{2}}}={\frac {d}{dp}}[cp\,(m_{0}^{2}c^{2}+p^{2})^{-{\frac {1}{2}}}]={\frac {m_{0}^{2}c^{3}}{(m_{0}^{2}c^{2}+p^{2})^{\frac {3}{2}}}}}$

o que nos leva a:

${\displaystyle M_{l}=({\frac {d^{2}E}{dp^{2}}})^{-1}=[{\frac {m_{0}^{2}c^{3}}{(m_{0}^{2}c^{2}+p^{2})^{\frac {3}{2}}}}]^{-1}={\frac {(m_{0}^{2}c^{2}+p^{2})^{\frac {3}{2}}}{m_{0}^{2}c^{3}}}}$

ou diretamente:

${\displaystyle M_{l}={\frac {(m_{0}^{2}c^{2}+p^{2})^{\frac {3}{2}}}{m_{0}^{2}c^{3}}}={\frac {(m_{0}^{2}c^{4}+p^{2}c^{2})^{\frac {3}{2}}}{m_{0}^{2}c^{6}}}={\frac {E^{3}}{m_{0}^{2}c^{6}}}}$

Logo, a massa longitudinal em relatividade, dada como funcao do momento relativistico, e calculada por:

$$




M

l


=



(



m

0


2



c

2


+

p

2






)

3





m

0


2



c

3







{\displaystyle M_{l}={\frac {({\sqrt {m_{0}^{2}c^{2}+p^{2}}}\,)^{3}}{m_{0}^{2}c^{3}}}}

Usualmente a massa e expressa em funcao da velocidade e nao do momento da particula, de forma que, substituindo-se a definicao de momento em funcao da velocidade na equacao acima:

${\displaystyle M_{l}={\frac {({\sqrt {m_{0}^{2}c^{2}+\{{\frac {m_{o}\,\mathbf {v} }{\sqrt {1-\mathbf {v} ^{2}/c^{2}}}}\}^{2}}}\,)^{3}}{m_{0}^{2}c^{3}}}}$

Iniciando a simplificacao pelo numerador: elevando-se ao quadrado a parcela dentro do radicando e ja tirando um denominador comum para as parcelas, tem-se:

${\displaystyle M_{l}={\frac {({\sqrt {{\frac {m_{0}^{2}c^{2}(1-\mathbf {v} ^{2}/c^{2})}{1-\mathbf {v} ^{2}/c^{2}}}+{\frac {m_{o}^{2}\,\mathbf {v} ^{2}}{1-\mathbf {v} ^{2}/c^{2}}}}}\,)^{3}}{m_{0}^{2}c^{3}}}={\frac {({\sqrt {{\frac {m_{0}^{2}(c^{2}-\mathbf {v} ^{2})}{1-\mathbf {v} ^{2}/c^{2}}}+{\frac {m_{o}^{2}\,\mathbf {v} ^{2}}{1-\mathbf {v} ^{2}/c^{2}}}}}\,)^{3}}{m_{0}^{2}c^{3}}}={\frac {({\sqrt {{\frac {m_{0}^{2}c^{2}-m_{0}\mathbf {v} ^{2}}{1-\mathbf {v} ^{2}/c^{2}}}+{\frac {m_{o}^{2}\,\mathbf {v} ^{2}}{1-\mathbf {v} ^{2}/c^{2}}}}}\,)^{3}}{m_{0}^{2}c^{3}}}}$

Ao resolver-se os numeradores do radicando, procedendo-se com as somas na ultima expressao, as parcelas com ${\displaystyle \mathbf {v} ^{2}}$ se anulam, sobrando apenas a parcela ${\displaystyle m_{0}c^{2}}$:

${\displaystyle M_{l}={\frac {({\sqrt {\frac {m_{0}^{2}c^{2}}{1-\mathbf {v} ^{2}/c^{2}}}}\,)^{3}}{m_{0}^{2}c^{3}}}={\frac {({\frac {m_{0}c}{\sqrt {1-\mathbf {v} ^{2}/c^{2}}}}\,)^{3}}{m_{0}^{2}c^{3}}}={\frac {m_{0}}{({\sqrt {1-\mathbf {v} ^{2}/c^{2})^{3}}}}}}$

o que iguala-se a massa longitudinal ja antes calculada usando-se o conceito de forca. Tem-se pois que:

$$




M

l


=



(



m

0


2



c

2


+

p

2






)

3





m

0


2



c

3





=



m

0



(


1
-


v


2



/


c

2



)

3









{\displaystyle M_{l}={\frac {({\sqrt {m_{0}^{2}c^{2}+p^{2}}}\,)^{3}}{m_{0}^{2}c^{3}}}={\frac {m_{0}}{({\sqrt {1-\mathbf {v} ^{2}/c^{2})^{3}}}}}}

O que confirma que a definicao geral de massa tambem aplica-se dentro da relatividade restrita.

A mecanica relativistica tambem herda, alem dos ja falados, dois outros conceitos bem intuitivos da mecanica classica: o conceito de trabalho T de uma forca, classicamente definido por: ${\displaystyle T=\int _{0}^{X_{f}}F.dx=\int _{0}^{t_{f}}Fv.dt}$ , e que, em mecanica classica, conduz a definicao ${\displaystyle T=F.X.\cos {\theta }}$ - valida quando se tem uma forca F constante formando sempre o mesmo angulo ${\displaystyle \theta }$ com o deslocamento - e o teorema da equiparacao entre trabalho e variacao da energia cinetica, ${\displaystyle \delta K=T}$.

A fim de se ter uma energia cinetica relativistica condizente com o teorema da equivalencia citado, devemos inserir a forca relativistica na equacao que define trabalho, o que, apos alguns calculos nao muito avancados (para quem sabe um pouco de calculo integral e diferencial - ver Eisberg et.al, Fisica Classica), fornece:

${\displaystyle K={\frac {m_{o}\,c^{2}}{\sqrt {1-\mathbf {v} ^{2}/c^{2}}}}\,-m_{o}c^{2}.}$

Mostra-se tambem, sem muita complicacao, que no limite onde a velocidade v da particula e negligenciavel perto da velocidade c da luz, a equacao da energia cinetica relativistica se reduz a equacao da energia cinetica classica ${\displaystyle K={\frac {m_{o}v^{2}}{2}}}$.

A equacao da energia cinetica relativistica, assim definida, e uma equacao em que ha duas parcelas, um dependente de velocidade V do lado esquerdo, e uma independente de V, fixa uma vez conhecida a massa inercial da particula, do lado direito: ${\displaystyle K=E(V)-E'(0)}$. Transpondo os termos temos ${\displaystyle E(V)=K+E'(0)}$, e lembrando que a energia total de uma particula e a soma entre sua energia cinetica e demais tipos de energia que esta possui, a intuicao nos leva diretamente a conclusao que o termo

${\displaystyle E(\mathbf {v} )={\frac {m_{o}\,c^{2}}{\sqrt {1-\mathbf {v} ^{2}/c^{2}}}}}$

deve ser interpretado como a energia relativistica total da particula. Quando a velocidade da particula e nula, sua energia total vale, assim:

${\displaystyle E_{(0)}=m_{o}C^{2}}$

que e a famosa equacao de Einstein para a equivalencia entre massa e energia.

A validade desta equivalencia entre massa de repouso e energia de repouso no contexto da relatividade restrita encontra suporte experimental em uma serie de eventos que vao desde a producao e aniquilacao de pares de particula-antiparticula, onde massa de repouso e claramente convertida em energia pura (radiacao eletromagnetica: raios gama), ate reacoes nucleares onde a conversao de massa de repouso em energia e responsavel por manter reatores funcionando, e tambem por permitir que se construam bombas muito pequenas perto do seu imenso poder de destruicao (bombas nucleares).

A energia relativistica tambem obedece, como e de se esperar, a uma lei de conservacao: a lei da conservacao da massa-energia no contexto da relatividade restrita.

No ambito da Relatividade Geral a queda livre de uma particula em um campo gravitacional e entendida como um movimento que se realiza em ausencia de forca. A forca neste contexto e a causa de desvios nesta trajetoria de queda livre. Associada a forca, medindo a oposicao da particula a mudancas na sua trajetoria de queda livre, temos a massa inercial da particula.

As trajetorias das particulas em queda livre sao linhas retas - de forma mais rigorosa geodesicas - no espaco-tempo. Estas trajetorias sao dependentes apenas das posicoes e velocidades iniciais das particulas em queda livre, mostrando-se completamente independentes de propriedades inerentes como as massas ou as dimensoes destas (o principio da equivalencia). Em funcao do espaco-tempo nao ser plano, as projecoes das geodesicas associadas sobre o espaco tridimensional ao qual estamos habituados normalmente nao fornecem trajetorias retas e sim trajetorias quase sempre "curvas", a exemplo trajetorias parabolicas, neste mundo tridimensional onde espaco e tempo sao entendidos como separados.

A origem dos campos gravitacionais na equacao fundamental da Teoria da Relatividade Geral encontra-se o tensor de energia-momento, ou seja, nas densidades e fluxos de energia e momento. Uma vez que a energia de uma particula em repouso associa-se diretamente a sua massa (inercial), as massas dos corpos em repouso sao "fontes" de campos gravitacionais. Sendo o movimento da fonte do campo gravitacional desprezivel e sendo a velocidade do objeto em queda livre bem pequena quando comparada a velocidade da luz, tem-se no limite a validade da lei da gravitacao de Newton: a massa do corpo confunde-se com a massa gravitacional classica. Assim tem-se o principio da equivalencia. Entretanto ha excecoes: para corpos com alta densidade de energia (luz como particula) este argumento nao e valido: a gravidade nas proximidades do sol mostra-se duas vezes maior do que a que seria esperada pela Gravitacao de Newton sob mesmo principio.^[49]

O conceito de massa na Teoria Geral da relatividade e em verdade bem mais complexo do que o encontrado na sua versao restrita. De fato, a Teoria Geral da Relatividade nao oferece uma definicao simples do termo massa, mas oferece diferentes definicoes aplicaveis cada qual em circunstancias especificas diferentes, a exemplo as massas "ADM" e "Komar".^[50] E existem situacoes claras dentro da Teoria Geral onde nao ha como se estabelecer um conceito aceitavel para massa.

Em suma, nao ha um conceito de massa que se mostre completamente covariante dentro da Teoria Geral da Relatividade.

Dentro dos limites onde nao so a granulosidade da materia como tambem a quantizacao nos processos de troca de energia mostram-se relevantes, as leis da teoria classica deixam muito a desejar quando o objetivo e explicar os fenomenos naturais que nele ocorrem, e em primeira instancia a teoria da mecanica quantica nao relativistica torna-se a teoria responsavel por nos fornecer as ferramentas adequadas para a correta compreensao dos fenomenos naturais observaveis dentro destes limites. A mecanica quantica nao relativistica e uma extensao da mecanica classica para o mundo microscopico com dimensoes comparaveis as dos atomos. Esta teoria, cujas origens remontam ao ano de 1900 com os trabalhos de Max Planck, pode ser rapidamente sintetizada na Equacao de Schrodinger, equacao que exerce na teoria quantica papel similar a equacao fundamental da dinamica dentro da mecanica classica.

Com a devida ressalva sobre o conceito de particula no ambito da teoria quantica, a qual nos leva diretamente ao principio da complementaridade de Niels Bohr, na equacao de Schrodinger figura uma massa, essencialmente a massa inercial da particula, heranca direta da mecanica classica. Em consequencia, no escopo da mecanica quantica nao relativistica a massa e a mesma massa inercial, classica, da particula. No que se refere a associacao entre massa inercial e gravitacional, no mundo quantico o conceito de massa gravitacional tornam-se completamente sem sentido visto que a ordem de grandeza das massas no mundo atomico leva a valores extremamente pequenos - completamente despreziveis e realmente desprezados - para as forcas gravitacionais entre dois entes neste mundo microscopico. Para a descricao correta do atomo de hidrogenio a expressao para a energia potencial eletrica de interacao entre o proton e o eletron e indispensavel na equacao de Schrodinger, mas em nenhuma literatura esta aparecera ao lado de sua equivalente gravitacional.

Para a descricao de fenomenos que envolvam altas velocidades (se comparadas as da luz) ou elevados niveis de energia - a exemplo espalhamento de raios X pela materia - a mecanica quantica ganha uma versao relativistica, e neste caso nas equacoes associadas, entre elas a equacao de Klein-Gordon, figura o conceito de massa de repouso da particula. O uso do conceito de massa relativistica herda as mesmas restricoes ja consideradas na definicao desta neste artigo, sendo suprimido pelo uso do conceito de energia total da particula. Em certas situacoes a massa mostra-se muitas vezes medida atraves de um comprimento de onda, diretamente associado ao comprimento de onda de um foton cuja energia seja a mesma da energia de repouso da particula. Seguindo esta associacao, para eletrons tem-se a massa quantica do eletron, o seu comprimento de onda Compton, que pode ser determinada por varias formas de espectroscopia e encontra-se intimamente relacionada a constante de Rydberg, o raio de Bohr, e o raio classico do eletron. A massa quantica de objetos maiores pode ser diretamente medida pela balanca de Watt.^[51]

Geralmente estabelecido dentro do ambito da gravitacao mas tambem valido em outras situacoes similares, o conceito de massa reduzida surge a partir de resultados matematicos associados a analise da dinamica de dois corpos com massas m₁ e m₂ que, devido a interacao gravitacional entre eles, gravitam mutuamente o centro de massa do sistema que constituem. A analise classica deve ser feita a partir do centro de massa ou de outro referencial inercial equivalente, e a rigor nao pode ser estabelecida com base em um referencial fixo em um dos corpos, pois estes nao constituem referenciais inerciais validos. Sao necessarios portanto seis grandezas, a saber as componentes dos vetores ${\displaystyle {\vec {r}}_{1}}$ e ${\displaystyle {\vec {r}}_{2}}$ que localizam os dois corpos a partir do referencial inercial escolhido.^[52]

Entretanto, sob certas condicoes, que incluem a dependencia da funcao energia potencial U associada ao sistema apenas com o modulo do vetor ${\displaystyle {\vec {r}}={\vec {r}}_{1}-{\vec {r}}_{2}}$ que localiza uma das massas em relacao a outra, condicoes geralmente satisfeitas por tais sistemas gravitacionais constituindo um sistema isolado, a analise pode ser feita a partir de qualquer referencial inercial mediante o conhecimento do vetor ${\displaystyle {\vec {R}}}$ que localiza o centro de massa do sistema em relacao ao referencial escolhido e do vetor ${\displaystyle {\vec {r}}}$ que localiza uma das massas em relacao a outra. Escolhendo-se, sem perda de generalidade, o centro de massa como referencial (${\displaystyle {\vec {R}}=0}$), os calculos podem ser feitos com base apenas em tres grandezas, a saber as componentes do vetor que localiza uma massa em relacao a outra (o vetor ${\displaystyle {\vec {r}}}$).

Nestas condicoes, o problema e formalmente reduzido, sendo matematicamente analogo, ao problema da analise do movimento de um unico corpo que se mova sob influencia de um campo central - campo este diretamente associado a funcao energia potencial ${\displaystyle U({\vec {r}})}$ e a origem do referencial inercial assumido - e que tenha massa ${\displaystyle \mu }$ determinada atraves da expressao:

${\displaystyle \mu ={\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}}$

Esta massa ${\displaystyle \mu }$ e conhecida por massa reduzida do sistema formado pelas massas m₁ e m₂.

Assim, a analise do sistema Terra-Lua pode ser feita a partir de um referencial com origem no centro na Terra desde que a Lua seja atribuida a massa reduzida associada ao sistema Terra-Lua.

O emprego do conceito de massa reduzida nao se restringe ao problema classico citado, figurando tambem em areas como eletromagnetismo e fisica quantica, a exemplo no estudo dos atomos e na definicao da "Constante de Rydberg para um nucleo de Massa M".^[53]

Ao se discutir o comportamento de particulas que se movem dentro de estruturas que lhe impoem potenciais periodicos ao longo de seu movimento e conveniente introduzir o conceito de massa efetiva. Esta situacao e tipica dentro de fisica do estado solido, onde a maioria dos efeitos eletricos de interesse decorre do alto padrao de simetria encontrado nos cristais semicondutores - a exemplo silicio ou arsenieto de galio - e da quebra proposital desta simetria - a exemplo atraves da introducao de pequenas quantidades de elementos especificos - os dopantes - na rede. A introducao da massa efetiva tem um consideravel valor teorico pois dentro dos cristais semicondutores a ausencia de um eletron introduzida por um dopante com valencia inferior a requisitada pela rede - a exemplo galio em cristal de silicio - gera um "buraco", que efetivamente funciona como uma particula positiva - um portador de carga que tambem contribui para a producao de corrente eletrica - e que, apesar de ter uma massa real nula (e literalmente um buraco - a falta de um eletron), move-se dentro da rede e sob acao de campos (forcas) externos como se fosse uma particula com massa real igual a sua massa efetiva.

A origem da massa efetiva encontra-se no comportamento dual da materia no mundo quantico, sendo os movimentos das particulas dentro dos cristais melhor descritos por ondas de materia do que pelo classico movimento de particulas em si. Quando se movem com determinadas velocidades (momentos) dentro da rede que lhes conferem comprimentos de onda de De Broglie proximos ou iguais aos dos parametros de rede - ou da periodicidade da rede na direcao de seus movimentos - a interacao entre estas particulas e as barreiras periodicas impostas pelos ions do cristal, ou seja, entre estas particulas e o cristal como um todo, aumentam consideravelmente. Ocorre um fenomeno de ressonancia entre a particula que se move e a rede, e nestas condicoes o cristal todo se opoe consideravelmente ao movimento do eletron com aquela determinada energia e momento. A tentativa de se aumentar a energia da particula quando proximo a esta situacao, digamos atraves da aplicacao de um campo eletrico externo - de uma forca externa - pode inclusive levar a uma resposta muito mais intensa da rede cristalina sobre esta particula, que ao inves de realmente acelerar no sentido da forca externa aplicada, acaba acelerando em sentido contrario ao desta: fala-se entao em massa efetiva negativa, pois, em acordo com o senso classico da lei de Newton, a aplicacao da forca externa a particula causou uma aceleracao no sentido contrario ao da forca aplicada.

Para situacoes em que o momento e a energia das particulas impliquem comprimentos de onda de De Broglie com valores bem diferentes dos comprimentos impostos pela periodicidade da rede, as massas efetivas tem valores praticamente iguais aos das massas reais destas particulas.

As situacoes de ressonancia para determinadas energias levam a existencia de bandas de energias proibidas para as particulas dentro dos cristais. As bandas permitidas traduzem-se como as conhecidas camadas eletronicas (K, L, M, etc.) dentro do estudo da quimica e fisica, e sao bem visiveis em um diagrama de relacao de dispersao para estas particulas quando em um determinado cristal. Um exemplo ilustrativo encontra-se na figura ao lado. Repara as regioes onde a massa efetiva e negativa.

Em termos da relacao de dispersao mostrada como exemplo, a massa efetiva de uma particula na rede cristalina e definida como:

${\displaystyle {\frac {1}{m*}}={\frac {1}{\hbar ^{2}}}{\frac {d^{2}E}{dk^{2}}}}$

A massa efetiva liga-se a curvatura da relacao de dispersao: "boca" para cima implica massa efetiva positiva, "boca" para baixo, massa efetiva negativa. Na transicao, a massa efetiva e nula.^[54]

A situacao representada na figura e unidimensional e portanto simplificada. Os cristais sao geralmente tridimensionais, e quando necessaria ao tratamento formal destes, a massa efetiva assume a forma de um tensor:

${\displaystyle ({\frac {1}{m*}})_{ij}={\frac {(2\pi )^{2}}{h^{2}}}{\frac {\partial ^{2}E_{(\mathbf {k} )}}{\partial k_{i}\partial k_{j}}}}$

Maiores detalhes sobre esta definicao e sobre fenomenos de transporte associados a eletrons e buracos em cristais tridimensionais fogem ao escopo deste artigo, mas sendo de interesse do leitor estes podem facilmente ser encontrados na literatura especializada.^[55]

No estudo da fisica nuclear nao se tem ainda um modelo completamente coerente com todas as informacoes experimentais disponiveis, e alguns modelos concorrem lado a lado - no velho estilo da complementaridade, a citar o modelo da gota liquida, o do gas de Fermi, o de Camadas e o Coletivo - para a compreensao do nucleo como parte integrante da materia.

No modelo do Gas de Fermi a modelagem e a mesma que a encontrada para um gas de eletrons, e nele cada nucleon do nucleo se move em um potencial efetivo atrativo, de valor medio essencialmente constante, criado pelos demais nucleons com o qual interage. Este potencial apresenta uma profundidade constante V_o dentro de um raio equivalente ao do nucleo, e reduz-se imediatamente a zero fora destas dimensoes. Com base em trabalhos experimentais para nucleons em diversas energias dentro do nucleo, evidenciou-se que nao se poderia a rigor tratar o potencial V_o como constante, pois este apresenta variacoes lentas e aproximadamente lineares com as energias dos nucleons. Em vista destes dados experimentais, optou-se por um tratamento onde V_o permanecesse essencialmente constante, e as massas dos nucleons sofressem as correcoes necessarias para tornar o modelo condizente com os dados experimentais, havendo assim uma massa efetiva no modelo do Gas de Fermi em moldes essencialmente analogos a massa efetiva de eletrons e buracos em cristais.

Dentro dos modelos atomicos ha outras definicoes diretamente associadas a massa, como o conceito de "massa semi-empirica", existente dentro do modelo de Gota Liquida para o nucleo, e com validade geral o conceito de "defeito de massa", que retrata o quanto menor e a massa de um nucleo resultante da fusao de dois outros quando comparado a soma das massas dos nucleos que lhe deram origem. O "defeito de massa" e facilmente compreensivel, sendo composto por uma unica parcela que retrata, em acordo com a equacao da equivalencia massa-energia (${\displaystyle E=MC^{2}}$), a energia que e liberada na fusao dos nucleos pais e que se traduz como uma reducao da massa no nucleo filho. Ja na equacao de massa, que fornece a massa semi empirica no modelo de Gota Liquida, encontram-se seis parcelas, cada uma responsavel por considerar a influencia de um dado parametro fisico relevante na determinacao de uma massa efetiva dentro deste modelo, havendo um termo associado a massa de repouso dos nucleons isolados, um termo de volume proporcional ao numero de massa A, um termo de superficie proporcional a A^2/3, um termo coloumbiano proporcional a Z2/A^1/3, um termo de assimetria proporcional a (Z-A/2)2/A onde Z e o numero atomico e um termo de emparelhamento, geralmente proporcional a A^1/2, que pode ser aditivo, nulo, ou subtrativo, sendo este subtrativo quando Z e N sao ambos pares e aditivo se Z e N sao ambos impares.

Assim, a formula da massa semi-empirica no modelo da Gota Liquida, com resultado expresso em unidades de massa atomica (u), e:

${\displaystyle M_{ZA}=[1,007825Z+1,008665(A-Z)]-a_{1}A+a_{2}A^{2/3}+a_{3}Z^{2}A^{1/3}+a_{4}(Z-A/2)^{2}A^{-1}+(-1,0,+1)a_{5}A{-1/2}}$

onde os termos a₁ a a₅ sao empiricamente obtidos a partir dos dados experimentais. Um conjunto capaz de fornecer bons resultados e obtido quando estes termos de proporcionalidade valem respectivamente (0,01691; 0,01911; 0,000763; 0,10175; 0,012).

Maiores detalhes sobre os modelos nucleares fogem ao escopo deste artigo, e para mais informacoes sobre defeito de massa, massa semi-empirica e outros conceitos de massa dentro dos modelos nucleares sugerimos a leitura de bibliografia especializada.^[56]