Emmy Noether

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Emmy Noether
Emmy Noether, ca. 1905
Teorema de Noether
Nascimento	Amalie Emmy Noether 23 de marco de 1882 Erlangen, Reino da Baviera, Alemanha
Morte	14 de abril de 1935 (53 anos) Bryn Mawr, Pensilvania, Estados Unidos
Sepultamento	Old Library
Nacionalidade	alema
Cidadania	Reino da Baviera
Etnia	judeus
Progenitores	Max Noether
Irmao(a)(s)	Fritz Noether, Alfred Noether
Alma mater	Universidade de Erlangen-Nuremberga
Ocupacao	matematica, fisica, professora universitaria
Distincoes	Premio Memorial Ackermann-Teubner (1932)
Empregador(a)	Universidade de Gottingen, Bryn Mawr College, Universidade de Erlangen-Nuremberga
Orientador(a)(es/s)	Paul Gordan[1]
Instituicoes	Universidade de Gottingen, Bryn Mawr College
Tese	1907: Uber die Bildung des Formensystems der ternaren biquadratischen Form
Obras destacadas	teorema de Noether
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Amalie Emmy Noether (pronunciado em alemao ['no:ta]) (Erlangen, 23 de marco de 1882 - Bryn Mawr, 14 de abril de 1935) foi uma matematica alema, conhecida pelas suas contribuicoes de fundamental importancia aos campos de fisica teorica e algebra abstrata. Considerada por David Hilbert, Albert Einstein, Hermann Weyl e outros como a mulher mais importante na historia da matematica,^[2][3][4] ela revolucionou as teorias sobre aneis, corpos e algebra. Em fisica, o teorema de Noether explica a conexao fundamental entre a simetria na fisica e as leis de conservacao.^[5][6][7]

Noether nasceu em uma familia judia na cidade de Erlangen, na Franconia; seu pai era o matematico Max Noether. Ela planejou originalmente ensinar frances e ingles apos passar nos exames exigidos, mas em vez disso estudou matematica na Universidade de Erlangen, onde seu pai lecionava. Apos concluir seu doutorado em 1907, sob a supervisao de Paul Gordan, ela trabalhou no Instituto de Matematica de Erlangen sem remuneracao por sete anos. Na epoca, as mulheres eram em grande parte excluidas dos cargos academicos. Em 1915, ela foi convidada por David Hilbert e Felix Klein para ingressar no departamento de matematica da Universidade de Gottingen, um centro de pesquisa matematica de renome mundial. A faculdade de filosofia objetou, entretanto, e ela passou quatro anos lecionando sob o nome de Hilbert. Sua habilitacao foi aprovada em 1919, permitindo-lhe obter o posto de Privatdozent.

Noether permaneceu um membro importante do departamento de matematica de Gottingen ate 1933 - seus alunos as vezes eram chamados de "meninos Noether". Em 1924, o matematico holandes B. L. van der Waerden juntou-se a seu circulo e logo se tornou o principal expositor das ideias de Noether - seu trabalho foi a base para o segundo volume de seu influente livro de 1931, Moderne Algebra. Na epoca de seu discurso plenario no Congresso Internacional de Matematicos de 1932 em Zurique, sua perspicacia algebrica foi reconhecida em todo o mundo. No ano seguinte, o governo nazista da Alemanha dispensou os judeus de cargos universitarios e Noether mudou-se para os Estados Unidos para assumir um cargo no Bryn Mawr College, na Pensilvania. Em 1935, ela foi submetida a uma cirurgia de cisto ovariano e, apesar dos sinais de recuperacao, morreu quatro dias depois, aos 53 anos.

O trabalho matematico de Noether foi dividido em tres "epocas".^[8] Na primeira (1908-1919), ela fez contribuicoes para as teorias de invariantes algebricos e campos de numeros. Seu trabalho sobre invariantes diferenciais no calculo de variacoes, o teorema de Noether, foi chamado de "um dos teoremas matematicos mais importantes ja comprovados na orientacao do desenvolvimento da fisica moderna".^[9] Na segunda epoca (1920-1926), ela comecou um trabalho que "mudou a cara da algebra [abstrata]".^[10] Em seu artigo classico de 1921 Idealtheorie in Ringbereichen (Teoria dos Ideais em Dominios de Anel), Noether desenvolveu a teoria dos ideais em aneis comutativos em uma ferramenta com aplicacoes abrangentes. Ela fez uso elegante da condicao da cadeia ascendente, e os objetos que a satisfazem sao nomeados Noetherian em sua homenagem. Na terceira epoca (1927-1935), publicou trabalhos sobre algebras nao comutativas e numeros hipercomplexos e uniu a teoria da representacao de grupos a teoria dos modulos e ideais. Alem de suas proprias publicacoes, Noether foi generosa com suas ideias e e creditada com varias linhas de pesquisa publicadas por outros matematicos, mesmo em areas muito distantes de seu trabalho principal, como a topologia algebrica.

Emmy nasceu em uma familia judia na cidade bavara de Erlangen, na regiao da Franconia, em 23 de marco de 1882, a primeira de quatro filhos.^[11] Seu pai era o matematico Max Noether, descendente de uma familia de mercadores de la. Aos 14 anos, o pai de Emmy ficou paralisado devido a polio. Ele voltou a ganhar mobilidade, ficando com deficiencia em uma perna. Autodidata, recebeu um doutorado pela Universidade de Heidelberg, em 1868. Depois de lecionar por sete anos, ele foi para Erlangen, onde conheceu e se casou com Ida Amalia Kaufmann, filha de um grande comerciante.^[12]

O primeiro nome de Emmy era "Amalie", em homenagem a mae e a avo paterna, mas adotou Emmy ainda muito nova. Era uma crianca muito querida, muito inteligente e esperta.^[3] Ela nao se destacou academicamente, embora fosse conhecida por ser inteligente e amigavel. Ela era miope e falava com um leve ceceio durante a infancia. Um amigo da familia contou uma historia anos depois sobre a jovem Noether resolvendo rapidamente um quebra-cabecas em uma festa infantil, mostrando perspicacia logica desde tenra idade.^[13] Ela foi ensinada a cozinhar e limpar, como a maioria das garotas da epoca, e teve aulas de piano. Ela nao exerceu nenhuma dessas atividades com paixao, embora gostasse de dancar.^[14]

Emmy tinha tres irmaos. O segundo, Alfred, nasceu em 1883, tendo doutorado em quimica em 1909 e faleceu nove anos depois. Fritz Noether, nascido em 1884, e lembrado por diversos feitos academicos, tendo estudado em Munique e feito carreira na area de matematica aplicada. O mais novo, Gustav Robert, nasceu em 1889 e pouco se sabe sobre ele, que sofria de uma doenca cronica e veio a falecer em 1928.^[12]

Emmy era fluente em frances e em ingles. Na primavera de 1900, ela prestou exames para magisterio nestes idiomas e recebeu nota geral sehr gut (muito bom). Sua nota a qualificou para lecionar os idiomas em escolas para meninas, mas Emmy preferiu continuar seus estudos na Universidade de Erlangen.^[12]

Foi uma decisao pouco convencional para a epoca. Dois anos depois, a reitoria da universidade declarou que seria permitido educacao mista em suas dependencias. Sendo uma das duas unicas mulheres no campus com 986 alunos, Emmy nao tinha autorizacao de participar de todas as aulas, tendo que pedir permissao individual para cada professor das disciplinas que pretendia estudar. Apesar dos obstaculos, em 14 de julho de 1903, ela se graduou.^[12][15]

No inverno de 1903-1904, ela estudou na Universidade de Gottingen, tendo aulas com o astronomo Karl Schwarzschild e com os matematicos Hermann Minkowski, Otto Blumenthal, Felix Klein e David Hilbert. Pouco depois, as restricoes as mulheres nas universidades foram suspensas.^[12]

Emmy retornou a Erlangen, sendo oficialmente recolocada em 24 de outubro de 1904, onde decidiu focar-se apenas em matematica. Sob a supervisao de Paul Gordan, escreveu a tese Uber die Bildung des Formensystems der ternaren biquadratischen Form (Em Sistemas Completos de Invariantes para Formas Biquadraticas Ternarias, 1907). Apesar de ser bem recebida, Emmy classificou sua tese como "uma droga".^[12][16]

Pelos proximos sete anos (1908-15), ela lecionaria na Universidade de Erlangen, sem vencimentos, ocasionalmente substituindo seu pai quando ele ficava muito doente para lecionar. Em 1910 e 1911, publicou uma extensao de sua tese sobre variaveis n. Paul Gordan viria a se aposentar na primavera de 1910, mas lecionou, ocasionalmente, com seu sucessor, Erhard Schmidt, que logo deixou a universidade por um emprego em Breslau. Paul viria a falecer em dezembro de 1912, tendo deixado Ernst Fischer como seu sucessor.^[16]

De acordo com Hermann Weyl, Fischer teve uma grande influencia em Noether, principalmente ao apresenta-lo a obra de David Hilbert. De 1913 a 1916, Noether publicou artigos que aplicaram e ampliaram os metodos de Hilbert em objetos matematicos, como campos de funcoes racionais e invariantes de grupos finitos. Este periodo marca o inicio de seu investimento em algebra abstrata, o campo da matematica para o qual ela fara contribuicoes revolucionarias. Noether e Fischer compartilham um grande prazer em estudar matematica e frequentemente discutem palestras muito depois de assisti-las. Noether envia cartoes-postais para Fischer, nos quais ela continua seu raciocinio matematico.^[17][18][19]

Na primavera de 1915, Emmy foi convidada a retornar a Gottingen por David Hilbert e Felix Klein. Seus esforcos para contrata-la fora combatidos pelos membros das faculdades de historia e filosofia. Eles insistiam que mulheres nao podiam se tornar privatdozent. Um membro disse que era inaceitavel que os soldados voltassem para a universidade e encontrassem uma mulher dando aulas.^[12] David Hilbert respondeu:

"

Nao vejo como o sexo da candidata possa ser um argumento contra sua admissao como privatdozent. Alem disso, estamos em uma universidade, nao em uma casa de banhos.[12]

"

Emmy deixou Erlanden no final de abril. Duas semanas depois, sua mae morreu, subitamente. Ela chegou a receber tratamento medico devido a um problema no olho, mas nao se sabe a causa da morte. Por volta da mesma epoca, seu pai se aposentou e seu irmao alistou no Exercito Alemao, para servir na Primeira Guerra Mundial. Ela voltou a Erlangen varias semanas depois para cuidar do pai.^[16]

Em seus primeiros anos em Gottingen, ela nao tinha uma posicao oficial, tampouco tinha salario. Sua familia pagava por sua acomodacao e por seu material academico. Suas aulas eram, normalmente, anunciadas sob o nome de David Hilbert, onde ela ofereceria apenas assistencia. Mas logo apos sua chegada a universidade, Emmy demonstrou sua capacidade de provar o teorema hoje conhecido como Teorema de Noether, que mostra que a lei de conservacao de energia esta associada com a simetria de um sistema fisico.^[16][15]

Os fisicos americanos Leon M. Lederman e Christopher T. Hill argumentaram em seu livro Symmetry and the Beautiful Universe que o Teorema de Noether era "certamente um dos mais importantes teoremas matematicas ja provados no desenvolvimento da fisica moderna, possivelmente lado a lado com o Teorema de Pitagoras".^[15]

Com o fim da Primeira Guerra Mundial, a Revolucao Alema trouxe uma mudanca social significativa, incluindo mais direitos para as mulheres. Em 1919, a universidade permitiu o ingresso de Noether, concedendo-lhe uma habilitacao de magisterio em junho do mesmo ano. Tres anos depois, Emmy recebeu uma carta do ministro da ciencia, arte e educacao da Prussia, na qual ele conferia a ela o titulo de nicht beamteter ausserordentlicher Professor, um professor associado, nao-titular, com direitos e funcoes administrativas limitadas. Apesar de nao ser um grande reconhecimento publico por seu trabalho, ele ainda nao era remunerado. Emmy nao recebeu por seu trabalho ate ser apontada, um ano depois, como docente de algebra.^[12][15][16]

O trabalho inovador de Noether em algebra comecou em 1920. Em colaboracao com W. Schmeidler, ela publicou um artigo sobre a teoria dos ideais no qual definia os ideais a esquerda e a direita em um anel. No ano seguinte, ela publicou um artigo marcante: Idealtheorie in Ringbereichen (Teoria dos Ideais em Aneis) que analisa, para os ideais, a condicao da cadeia ascendente (qualquer cadeia tem um maximo ou, o que e equivalente, qualquer a sequencia crescente e estacionaria). Um renomado algebrista, Irving Kaplansky, chama seu trabalho de "revolucionario"^[20][21] e esta publicacao da origem ao termo anel Noetheriano e varios outros objetos matematicos (grupos, aneis, espacos topologicos, diagramas) sao qualificados como Noetherianos.^[20][22][23]

Em 1924, um jovem matematico holandes, Bartel Leendert van der Waerden, chegou a Universidade de Gottingen. Ele imediatamente comeca a trabalhar com Noether, que lhe ensina metodos inestimaveis de conceituacao abstrata. Van der Waerden diria mais tarde que a originalidade de Noether era "absoluta, alem de qualquer comparacao".^[24] Em 1931, publicou Moderne Algebra, uma obra central neste campo. O segundo volume e muito emprestado do trabalho de Noether. Embora Emmy Noether nao esteja buscando reconhecimento, ele incluira na Setima Edicao: "Baseado em parte nas palestras de E. Artin e E. Noether ".^[25][26][27] As vezes, ela da a seus colegas e alunos o credito por suas proprias ideias, ajudando-os a desenvolver suas carreiras as custas dela.^[27][28]

A chegada de van der Waerden faz parte de um vasto movimento de matematicos de todo o mundo para Gottingen, que esta se tornando um importante centro de pesquisa em fisica e matematica. De 1926 a 1930, o topologista russo Pavel Alexandrov ensinou na universidade e rapidamente se tornou amigo de Noether. Ele o chama de der Noether, usando o artigo alemao masculino como um sinal de afeto e respeito. Ela tenta conseguir para ele um cargo de professor regular em Gottingen, mas apenas consegue ajuda-lo a conseguir uma bolsa de estudos da Fundacao Rockefeller.^[29][30] Eles se reunem regularmente e gostam de discutir as semelhancas entre algebra e topologia. Em 1935, durante seu discurso comemorativo, Alexandrov dira de Noether que ela foi "a maior matematica de todos os tempos".^[31]

Durante o inverno de 1928-1929, Noether aceitou o convite da Universidade Estatal de Moscou, onde continuou a trabalhar com Pavel Alexandrov. Ela continuou sua pesquisa la e ministrou cursos de algebra abstrata e geometria algebrica. Ela trabalhou com os especialistas em topologia Lev Pontryagin e Nikolai Tchebotariov, que mais tarde expressariam sua admiracao por suas contribuicoes a teoria de Galois.^[32][33][34]

Embora a politica nao tenha desempenhado um papel central em sua vida, Noether tinha um grande interesse pela politica e, de acordo com Alexandrov, demonstrou um apoio consideravel a Revolucao Russa de 1917. Ela ficou particularmente feliz ao ver os avancos sovieticos no diferentes campos da ciencia e da matematica. Esta atitude causou-lhe problemas na Alemanha, levando-a ate a ser despejada da pensao em que estava hospedada, depois que funcionarios estudantes reclamaram de viver sob o mesmo teto que "uma judia com tendencias marxistas".^[35]

Noether planeja retornar a Moscou, com a ajuda de Alexandrov. Depois que ela deixou a Alemanha em 1933, ele tentou ajuda-la a conseguir uma cadeira na Universidade Estatal de Moscou por meio do Ministerio da Educacao sovietico. Embora essa tentativa tenha sido malsucedida, eles continuaram a se corresponder com frequencia durante os anos 1930, e em 1935 ela novamente considerou retornar a Uniao das Republicas Socialistas Sovieticas.^[35] Enquanto isso, seu irmao Fritz aceitou um cargo no Instituto de Pesquisa em Matematica e Mecanica em Tomsk, Siberia, depois de tambem perder seu emprego na Alemanha.^[36][37]

Em 1932, Emmy Noether e Emil Artin receberam o Premio Memorial Ackermann-Teubner por suas contribuicoes para a matematica. [60] O premio incluiu uma recompensa monetaria de 500 Reichsmarks e foi visto como um reconhecimento oficial ha muito esperado por seu consideravel trabalho no campo. No entanto, seus colegas expressaram frustracao com o fato de que ela nao foi eleita para a Academia de Ciencias de Gottingen e nunca foi promovida ao cargo de Ordentlicher Professor^[38][39] (professora catedratica).^[40]

Os colegas de Noether comemoraram seu 50.o aniversario em 1932, no tipico estilo dos matematicos. Helmut Hasse dedicou um artigo a ela no Mathematische Annalen, no qual ele confirmou sua suspeita de que alguns aspectos da algebra nao comutativa sao mais simples do que os da algebra comutativa, ao provar uma lei de reciprocidade nao comutativa.^[41] Isso a agradou imensamente. Ele tambem enviou a ela um enigma matematico, que ele chamou de "enigma-mmn das silabas". Ela resolveu imediatamente, mas o enigma foi perdido.^[38][39]

Em novembro do mesmo ano, Noether proferiu um discurso plenario (grosser Vortrag) sobre "Sistemas hiper-complexos em suas relacoes com a algebra comutativa e a teoria dos numeros" no Congresso Internacional de Matematicos em Zurique. O congresso contou com a presenca de 800 pessoas, incluindo os colegas de Noether, Hermann Weyl, Edmund Landau e Wolfgang Krull. Houve 420 participantes oficiais e 21 discursos em plenario apresentados. Aparentemente, a posicao proeminente de Noether era um reconhecimento da importancia de suas contribuicoes para a matematica. O congresso de 1932 as vezes e descrito como o ponto alto de sua carreira.^[39][42]

Quando Adolf Hitler se tornou chanceler alemao, em janeiro de 1933, a atividade nazista no pais aumentou dramaticamente. Na universidade, a Associacao de Estudantes Alemaes lancou ataques contra judeus e seus apoiadores por "nao terem espirito alemao", liderados por um privatdozent chamado Werner Weber, ex-aluno de Emmy. Atitudes anti-semitas criaram um clima hostil para os professores judeus. Um manifestante chegou a dizer: estudantes arianos querem professores arianos, nao judeus.^[12]

Uma das primeiras acoes da administracao de Hitler foi a Lei para a Restauracao da Funcao Publica Profissional, que removeu funcionarios judeus e funcionarios suspeitos, incluindo professores universitarios, de seus cargos, a menos que demonstrassem "sua total lealdade a Alemanha", servindo na Primeira Guerra Mundial. Em abril de 1933, Emmy recebeu um aviso do gabinete do ministro prussiano que dizia: Segundo o paragrafo 3, do Codigo de Servico Civil de 7 de abril de 1933, eu retiro seu direito de lecionar na Universidade de Gottingen.^[12][15]

Varios colegas de Emmy, como Max Born e Richard Courant, tambem tiveram seus cargos revogados. Emmy aceitou a demissao calmamente, oferecendo suporte a outros colegas em situacao semelhante. Mesmo sem poder dar aulas, ela reunia estudantes em seu apartamento para discutir teorias classica. Mesmo quando um estudante seu aparecia paramentado com a farda da organizacao nazista Sturmabteilung, Emmy nao se abalava. Isso porem foi antes dos eventos sangrentos da Noite dos Cristais, em 1935.^[12][15]

Muitos professores desempregados na Europa receberam oportunidades de emprego de colegas nos Estados Unidos. Albert Einstein e Hermann Weyl foram indicados para Princeton. Outros ainda buscavam patrocinadores para lhes ajudar na imigracao. Emmy foi contratada por representantes de duas instituicoes: o Bryn Mawr College, nos Estados Unidos e o Somerville College da Universidade Oxford, na Inglaterra. Apos uma serie de negociacoes com a Fundacao Rockefeller, Bryn Mawr aprovou a vinda de Emmy e ela iniciou seus trabalhos em 1933.^[12][15]

No Bryn Mawr, Ammy conheceu Anna Wheeler, que tinha estudado em Gottingen pouco antes da chegada de Emmy e as duas se tornaram grandes amigas. Outro apoiador de Emmy foi a presidente da faculdade, Marion Edwards Park, que convidou varios matematicos para assistirem "Emmy Noether em acao".^[12]

Em 1934, Emmy comecou a lecionar no Instituto de Estudos Avancados, em Princeton, por convite de Abraham Flexner e Oswald Veblen. Trabalhou e foi orientadora de Abraham Albert e Harry Vandiver. No entanto, a maior lembranca de Emmy em Princeton e de ser uma universidade de homens, onde as mulheres nao era bem-vindas.^[15]

Os anos nos Estados Unidos foram agradaveis. Emmy estava cercada de colegas e apoiadores, inserida em seus temas favoritos.^[12]

Em abril de 1935, os medicos descobriram um tumor na pelvis de Noether. Preocupados com as complicacoes da cirurgia, eles pediram dois dias de repouso na cama primeiro. Durante a operacao, eles descobriram um cisto ovariano "do tamanho de um grande melao". Dois tumores menores em seu utero pareciam ser benignos e nao foram removidos para evitar o prolongamento da cirurgia. Durante tres dias, ela pareceu convalescer normalmente e se recuperou rapidamente de um colapso circulatorio no quarto dia. Em 14 de abril, ela caiu inconsciente, sua temperatura subiu para 42,8 degC e ela morreu. "Nao e facil dizer o que ocorreu na Dra. Noether", escreveu um dos medicos. "E possivel que tenha havido alguma forma de infeccao virulenta e incomum, que atingiu a base do cerebro onde os centros de calor deveriam estar localizados". ^[43]

Poucos dias apos a morte de Noether, seus amigos e associados em Bryn Mawr realizaram um pequeno servico memorial na casa do presidente da faculdade, Park. Hermann Weyl e Richard Brauer viajaram de Princeton e conversaram com Wheeler e Taussky sobre a colega que partiu. Nos meses que se seguiram, tributos escritos comecaram a aparecer em todo o mundo: Albert Einstein^[44] juntou-se a van der Waerden, Weyl e Pavel Alexandrov para prestar suas homenagens. Seu corpo foi cremado e as cinzas enterradas sob a passarela ao redor dos claustros da Biblioteca M. Carey Thomas em Bryn Mawr.^[45][46]

O trabalho de Noether em algebra e topologia foi essencial em matematica, enquanto o Teorema de Noether possui consequencias de grande alcance em Fisica Teorica e Sistemas Dinamicos. Ela mostrou propensao aguda para raciocinio abstrato, o que permitiu que ela abordasse problemas em matematica de forma inovadora e unica.^[47][48] Seu amigo e colega Hermann Weyl descreveu sua producao academica como separada em tres epocas:

A producao cientifica de Emmy Noether se separa em tres claras epocas distintas:

(1) o periodo de dependencia relativa, 1907-1919;
(2) a investigacao agrupada em torno da teoria geral de ideais, 1920-1926;
(3) o estudo de algebras nao-comutativas, suas representacoes por transformacoes lineares, e sua aplicacao ao estudo de corpos numericos comutativos e suas aritmeticas.

-- Weyl 1935

Durante a primeira epoca (1907-19), Noether lidou primariamente com invariantes algebricos e diferenciais, comecando com sua dissertacao sob Paul Gordan. Seus horizontes matematicos se expandiram, e seu trabalho se tornou mais geral e abstrato, conforme ela se familiarizava com o trabalho de David Hilbert, atraves de interacao proxima com o sucessor de Gordan, Ernst Sigismund Fischer. Apos se mudar para Gottingen em 1915, ela produziu seu trabalho seminal em Fisica, o Teorema de Noether.

Durante a segunda epoca (1920-26), Noether se devotou a desenvolver a teoria de aneis.

Durante a terceira epoca (1927-35), Noether se focou em algebras nao-comutativas, transformacoes lineares e corpos numericos comutativos.^[49]

Entre 1832 ate a morte de Noether em 1935, o campo da Matematica - especificamente algebra - sofreu uma profunda revolucao cujas reverberacoes sao sentidas ate hoje. Matematicos de seculos anteriores haviam trabalhado em metodos praticos para a solucao de tipos especificos de equacoes, como por exemplo, equacoes cubicas, quarticas, e quinticas, assim como o problema relacionado de construir poligonos regulares usando regua e compasso. Iniciando com a prova de Carl Friedrich Gauss em 1832 de que inteiros primos como 5 podem ser fatorados nos inteiros gaussianos, a introducao por Evariste Galois dos grupos de permutacao em 1832 (apesar de, devido a sua morte, seus trabalhos foram publicados apenas em 1846 por Liouville), a descoberta por William Rowan Hamilton dos quaternions em 1843, e a definicao mais moderna de grupos por Arthur Cayley em 1854, a pesquisa matematica se voltou para a determinacao de propriedades de sistemas cada vez mais abstratos, definidos por regras cada vez mais gerais. As contribuicoes mais importantes de Noether para a matematica foram o desenvolvimento deste novo campo, a algebra abstrata.^[50]

Dois dos objetos mais basicos em Algebra sao grupos e aneis.

Um grupo consiste em um conjunto de elementos e uma operacao que combina um primeiro e um segundo elementos do conjunto e retorna um terceiro. Essa operacao deve satisfazer certas restricoes para determinar um grupo: Deve ser fechada, associativa, possuir uma identidade, e para cada elemento deve existir um elemento inverso.

Similarmente, um anel possui um conjunto de elementos, mas agora duas operacoes. A primeira operacao deve tornar o conjunto em um grupo e e comutativa, e a segunda operacao e fechada, associativa e distributiva com relacao a primeira operacao.

Grupos sao frequentemente estudados atraves de representacoes de grupos. Em sua forma mais geral, isso consiste em uma escolha de grupo, um conjunto, e uma acao do grupo no conjunto, isto e, uma operacao que toma um elemento do grupo e um elemento do conjunto e retorna um elemento do conjunto.

Uma forma poderosa de estudar aneis e atraves de seus modulos. Um modulo consiste em uma escolha de anel, um outro conjunto subjacente, uma operacao em pares de elementos do modulo, e uma operacao que leva um elemento do anel e um elemento do modulo e retorna um elemento do modulo. O conjunto subjacente e sua operacao devem formar um grupo satisfazendo comutatividade. Um modulo e uma versao em teoria dos aneis de uma representacao de grupo. Um caso especial importante disso e uma algebra. Uma algebra consiste em uma escolha de dois aneis e uma operacao que toma um elemento de cada anel e retorna um elemento do segundo anel. Essa operacao torna o segundo anel em um modulo sobre o primeiro.

Palavras como "elemento" e "operacao" sao bastante genericas, e podem ser aplicadas a muitas situacoes reais e abstratas. Qualquer conjunto de objetos que obedeca todas as regras para uma (ou duas) operacao (ou operacoes) e, por definicao, um grupo (ou anel), e obedece a todos os teoremas sobre grupos (ou aneis). Inteiros e as operacoes de adicao e multiplicacao sao simplesmente um exemplo. Teoremas de algebra abstrata sao poderosos pois sao gerais; eles governam muitos sistemas. Poderia se imaginar que pouco pode ser concluido sobre objetos definidos com tao poucas propriedades, mas e exatamente aqui onde se destacavam os talentos de Noether: descobrir o maximo que poderia ser concluido de um dado conjunto de propriedades, ou reciprocamente, identificar o conjunto minimo, as propriedades essenciais, responsaveis por uma observacao em particular. Diferentemente da maioria dos matematicos, ela nao fazia abstracoes generalizando exemplos conhecidos; ao inves disso, ela trabalhava diretamente com as abstracoes. Como van der Waerden lembrou em seu obituario sobre ela,^[51]

"

A maxima pela qual Emmy Noether se guiou ao longo de seu trabalho pode ser formulado da seguinte forma: "Relacoes entre numeros, funcoes, e operacoes se tornam transparentes, aplicaveis em geral, e atingem sua produtividade maxima apenas apos elas terem sido isoladas de seus objetos particulares, e terem sido formuladas como conceitos universalmente validos".

"

Essa era a matematica puramente conceitual que era caracteristica de Noether. Esse estilo de matematica foi consequentemente adotado por outros matematicos, especialmente no (entao novo) campo da algebra abstrata.

Os inteiros formam um anel comutativo cujos elementos sao os inteiros, e as operacoes sao adicao e multiplicacao. Qualquer par de inteiros pode ser somada ou multiplicada, sempre resultando em outro inteiro, e a primeira operacao e comutativa. A segunda operacao tambem e comutativa, mas isso nao precisa ser verdadeiro em aneis. Exemplos de aneis nao-comutativos incluem matrizes e quaternions. Os inteiros nao formam um anel de divisao, pois a segunda operacao nao pode ser sempre invertida.

Os inteiros possuem propriedades adicionais que nao se generalizam para todos os aneis comutativos. Um exemplo importante e o Teorema Fundamental da Aritmetica, que diz que todo inteiro positivo pode ser fatorado unicamente em inteiros primos. Fatoracao unica nao existe sempre em outros aneis, mas Noether achou um teorema de fatoracao unica, hoje chamado de Teorema de Lasker-Noether, para os ideais de muitos aneis. Muito do trabalho de Noether se coloca em determinar que propriedades valem para todos os aneis, na concepcao de resultados novos analogos a teoremas antigos sobre inteiros, e na determinacao de conjuntos minimos de suposicoes necessarias para obter certas propriedades de aneis.

Entre 1832 e 1935, ano da morte de Emmy, a matematica, especialmente o campo da algebra, passou por uma profunda revolucao, cujas consequencias ainda sao sentidas. Matematicos de seculos anteriores trabalharam em metodos praticos para resolver tipos especificos de equacoes, como funcao cubica. A maior e mais importante contribuicao de Emmy Noether para a matematica foi o desenvolvimento de uma nova area, a algebra abstrata.^[50]

Referencias

• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., <>, MacTutor History of Mathematics archive (em ingles), Universidade de St. Andrews
• Emmy Noether (em ingles) no Mathematics Genealogy Project
• Franz Lemmermeyer, Peter Roquette (Editores): Helmut Hasse und Emmy Noether. Die Korrespondenz 1925-1935. Universitatsverlag Gottingen, Gottingen 2006, ISBN 3-938616-35-0

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