Lagrange-Punkte

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Die Lagrange-Punkte oder Librationspunkte (von lateinisch libra ,,Waage" und librare ,,das Gleichgewicht halten") sind funf Punkte im System zweier Himmelskorper (beispielsweise eines Sterns und eines ihn umkreisenden Planeten), an denen ein leichter Korper (etwa ein Asteroid oder eine Raumsonde) antriebslos den massereicheren Himmelskorper umkreisen kann, wobei er dieselbe Umlaufzeit wie der massearmere Himmelskorper hat und sich seine Position relativ zu diesen beiden nicht andert. Im Falle eines kunstlichen Korpers ist dieser dann ein Satellit um den massereicheren Himmelskorper, aber kein Satellit um den massearmeren Himmelskorper.

Mathematisch betrachtet sind die Lagrange-Punkte die Gleichgewichtspunkte des eingeschrankten Dreikorperproblems. Das allgemeine Dreikorperproblem der Himmelsmechanik ist nur numerisch naherungsweise losbar, nicht aber analytisch. Mit der Einschrankung aber, dass der dritte Korper eine vernachlassigbare Masse hat, fanden Leonhard Euler und Joseph-Louis Lagrange funf analytische Losungen: In den nach Lagrange L₁ bis L₅ (auch L1 bis L5) genannten Punkten konnen dritte Korper kraftefrei ruhen. Es handelt sich um Nullstellen des Schwerefeldes in jenem rotierenden Bezugssystem, in dem auch die beiden schweren Himmelskorper (z. B. Sonne und Planet) ruhen. Das heisst, die Gravitationskrafte der beiden Korper auf den Probekorper werden gerade von der Zentrifugalkraft (aufgrund der Rotation des Bezugssystems) aufgehoben. In einem nichtrotierenden Bezugssystem laufen die Lagrange-Punkte synchron mit den beiden Himmelskorpern auf Kreisbahnen um den gemeinsamen Schwerpunkt.

Die Punkte L₁ bis L₃ sind in Tangentialrichtung stabil und in Radialrichtung instabil und damit insgesamt instabil. L₄ und L₅ sind dagegen Ljapunow-stabil: Befindet sich der Probekorper in einer Umgebung um den Lagrange-Punkt, so bleibt er auf einer geschlossenen Bahn in dieser Umgebung. Entscheidendes Element ist die ausserhalb dieser Umgebung vernachlassigbare Corioliskraft.

In Lehrbuchern und den meisten wissenschaftlichen Artikeln wird die Schreibweise ,,L₁, L₂, ..." verwendet,^[2][3][4] da es sich um Losungen mathematischer Gleichungen handelt. In der Raumfahrtliteratur,^{[5][6][7][8][9][10][11]} in astronomischen Datenbanken^[12] und in popularwissenschaftlichen Darstellungen^[13][14] wird hingegen die vereinfachte Schreibweise ,,L1, L2, ..." verwendet. Auch neuere wissenschaftliche Artikel verwenden teils die vereinfachte Schreibweise.

Alle funf Lagrange-Punkte liegen in der Bahnebene der beiden schweren Korper. Drei liegen auf der Verbindungslinie der beiden Korper, der vierte und der funfte bilden (bis auf relativistische Korrekturen) mit den beiden Korpern jeweils die Eckpunkte eines gleichseitigen Dreiecks.

Der innere Lagrange-Punkt L₁ befindet sich zwischen den beiden betrachteten Korpern auf ihrer Verbindungslinie.

Der aussere Lagrange-Punkt L₂ befindet sich hinter dem kleineren der beiden grossen Korper auf ihrer Verbindungslinie.

Der Lagrange-Punkt L₃ befindet sich (von dem kleineren Korper aus gesehen) hinter dem grosseren Korper auf ihrer Verbindungslinie etwas ausserhalb der Umlaufbahn des kleineren der beiden Korper.

Die Lagrange-Punkte L₄ und L₅ befinden sich jeweils am dritten Punkt zweier gleichseitiger Dreiecke, die die Verbindungslinie der Schwerpunkte der beiden grossen Korper als gemeinsame Seite haben. L₄ befindet sich in Umlaufrichtung des kleineren der beiden Korper vor ihm, L₅ hinter ihm.

Der innere Lagrange-Punkt L₁ des Sonne-Erde-Systems befindet sich ca. 1,5 Mio. km von der Erde entfernt in Richtung Sonne. Das entspricht etwa dem vierfachen Abstand Erde-Mond und 1 % des Abstands Erde-Sonne. Ein Blick von L₁ zur Erde zeigt permanent auf die Tagseite, wahrend L₁ sich, von der Erde aus gesehen, vor der Sonnenscheibe befindet.

Ein Korper, der die Sonne innerhalb der Erdbahn umkreist, hatte normalerweise eine hohere Bahngeschwindigkeit als die Erde. Durch die Anziehungskraft der Erde wird jedoch die Anziehungskraft der Sonne auf den Korper geschwacht (die beiden Krafte wirken entgegengesetzt), wodurch in L₁ die dem Erdumlauf synchrone Umlaufgeschwindigkeit fur das Kraftegleichgewicht ausreicht.

Der Lagrange-Punkt L₁ im System Sonne-Erde dient vor allem als ,,Basis" zur Sonnenbeobachtung. Ein Signal zu einem Raumfahrzeug an diesem Punkt benotigt ungefahr 10 Sekunden hin und zuruck. Verschiedene Sonnenobservatorien und andere Raumsonden wurden in Umlaufbahnen um L₁ stationiert:

• Schon 1978 brach die Sonde ISEE-3 zum L₁ auf, um ihn bis 1982 zu umkreisen. Sie war die erste Sonde, die einen Lagrangepunkt umkreiste.
• Seit 1995 beobachtet SOHO aus einer L₁-Umlaufbahn mit zwolf Messinstrumenten die Sonne. Dies ist eines der langlebigsten Projekte von ESA und NASA.
• Der Advanced Composition Explorer (ACE) der NASA zur Erforschung von Partikeln aus allen moglichen Quellen im Universum (u. a. der Sonne) umkreist L₁ seit Anfang 1998.
• Die Raumsonde Genesis mit Instrumenten zur Erforschung des Sonnenwinds und zum Einfangen seiner Partikel war dort von 2001 bis 2004 positioniert.
• Seit 2015 befindet sich das Deep Space Climate Observatory der NASA in einem Lissajous-Orbit um den Lagrange-Punkt L₁.
• Die Technologieerprobungssonde LISA Pathfinder war in einem Lissajous-Orbit um den Lagrange-Punkt L₁.
• Aditya-L1, eine Sonnenbeobachtungssonde der ISRO, befindet sich seit Anfang 2024 in einem Orbit um L₁ und kann die Funktionen von SOHO und ACE ubernehmen.

Der innere Lagrange-Punkt L₁ des Systems Erde-Mond ist im Mittel ungefahr 58.000 km vom Massemittelpunkt des Mondes in der Richtung zur Erde hin entfernt, von der Erde aus gesehen etwa bei 6/7 der Entfernung zwischen beiden Himmelskorpern.^[6][13]

Nutzung durch Raumfahrzeuge:

• Die THEMIS-Missionen der NASA und deren Verlangerung ARTEMIS fuhrten unter anderem zum Lagrange-Punkt L₁ von Erde und Mond.^[5]

Der aussere Lagrange-Punkt L₂ des Sonne-Erde-Systems befindet sich in einer Entfernung von ca. 1,5 Mio. km ausserhalb der Erdbahn. Ein Blick von L₂ zur Erde zeigt permanent die Nachtseite der Erde, umgeben von einem schmalen Sonnenring. Ein Signal zu einem Raumfahrzeug an L₂ und wieder zuruck benotigt ungefahr 10 Sekunden.

Normalerweise ware ausserhalb der Erdbahn die Umlaufdauer langer als die der Erde. Die zusatzliche Anziehung der Erde (Krafte von Sonne und Erde auf den Korper sind gleichgerichtet) bewirkt jedoch eine kurzere Umlaufdauer, die im L₂ wiederum gleich der Umlaufdauer der Erde ist.

Ein Orbit um den L₂-Punkt des Systems Sonne-Erde bietet Vorteile fur Weltraumteleskope, da die storende Strahlung von Sonne, Erde und Mond aus der gleichen Richtung auf die Teleskope trifft und somit bestmoglich abgeschirmt werden kann. Bei solar betriebenen Satelliten ist erforderlich, dass der Orbit um L₂ ausserhalb des Erdschattens liegt.^[7] Ein weiterer Vorteil eines Orbits um L₂ ist die konstante Orientierung in Bezug zur Erde.

Folgende Weltraumteleskope wurden in Umlaufbahnen um L₂ stationiert:

• Die WMAP-Raumsonde (Wilkinson Microwave Anisotropy Probe), die die kosmische Hintergrundstrahlung des Urknalls untersuchte, befand sich 2001-2010 in einer Umlaufbahn um den L₂-Punkt des Systems Sonne-Erde.
• Die ESA stationierte dort im September 2009 das Infrarot-Teleskop Herschel und das Teleskop Planck zur Untersuchung der Hintergrundstrahlung.^[8]
• Von Januar 2014 bis Marz 2025 umkreiste das Astrometrie-Teleskop Gaia der ESA den L₂.^[9]
• Seit Oktober 2019 ist das Rontgenteleskop eROSITA am L₂ stationiert.
• Seit dem 24. Januar 2022 ist das James-Webb-Weltraumteleskop in einem Halo-Orbit um L₂.^[10]
• Im Juli 2023 stationierte die ESA das Teleskop Euclid in einem Orbit um diesen L₂-Punkt.
• Das kunftige Nancy Grace Roman Space Telescope soll dort stationiert werden.

Der aussere Lagrange-Punkt des Systems Erde-Mond ist im Mittel ungefahr 64.500 km vom Massemittelpunkt des Mondes in Richtung von der Erde weg entfernt.^[6][13]

Nutzung durch Raumfahrzeuge:

• Die ARTEMIS-Missionen der NASA fuhrten 2011 unter anderem zum Lagrange-Punkt L₂ von Erde und Mond.^[5]
• 2018 nahm Queqiao, ein Relais-Satellit der chinesischen Chang'e-4-Mission, einen Halo-Orbit um L₂ ein.^[11]

Im Fall Sonne-Erde liegt der dritte Lagrange-Punkt auf der uns gegenuberliegenden Seite der Sonne, knapp 190 km weiter entfernt von der Sonne als die Umlaufbahn der Erde. In diesem Punkt bewirken die (gleichgerichteten) kombinierten Anziehungskrafte von Erde und Sonne wieder eine Umlaufdauer, die gleich der der Erde ist.

Ein Raumfahrzeug am L₃ des Systems Sonne-Erde befindet sich hinter der Sonne und Radiosignale von und zu diesem Punkt werden von der Sonne blockiert und durch Radiowellen der Sonne gestort. Eine genaue Positionsbestimmung ist von der Erde aus nicht moglich. Raumfahrzeuge auf erdahnlichen Umlaufbahnen in der Nahe dieses Punkts mussen ihre Daten speichern, bis sie ihre Position bei L₃ verlassen haben und eine Kommunikation wieder moglich ist. Der L₃-Punkt ist also der ungunstigste Aufenthaltsbereich fur Raummissionen.

Der L₃-Punkt war in Science-Fiction-Buchern und Comics ein beliebter Ort fur eine hypothetische (fur uns aufgrund der Sonne nicht sichtbare) ,,Gegenerde". Da die Masse einer gleichschweren ,,Gegenerde" in dem System jedoch nicht mehr zu vernachlassigen ware, handelte es sich hier um ein etwas anders gelagertes Dreikorperproblem und L₃ lage aus Symmetriegrunden exakt auf der Umlaufbahn der Erde.

Im Gegensatz zu L₁, L₂ und L₃ sind L₄ und L₅ stabil, d. h., in ihrer Nahe konnen sich Korper auch ohne Bahnkorrektur dauerhaft aufhalten. Daher konnen an diesen Punkten naturliche Objekte erwartet werden. Ist der Punkt L₄ bzw. L₅ nicht genau getroffen, so beschreibt das entsprechende Objekt eine Umlaufbahn um den Lagrangepunkt. Tatsachlich befinden sich in der Nahe von L₄- und L₅-Punkten eine Vielzahl von Staubwolken und Kleinkorpern, insbesondere auf den Umlaufbahnen der grossen Planeten. Asteroiden oder Monde, die sich im naheren Umkreis dieser Punkte befinden, werden von Astronomen auch Trojaner oder Trojanermonde genannt. In einer Umlaufbahn um L₄ der Erde befindet sich der 2010 entdeckte Asteroid (706765) 2010 TK₇ sowie der 2020 entdeckte (614689) 2020 XL₅.^[2] Letzterer hat einen mittleren Durchmesser von 1 km und ist damit etwa zweieinhalb Mal so gross wie der 2010 entdeckte Trojaner.

Beispiele

• System Sonne-Jupiter (Jupitertrojaner): In der Umgebung der Punkte L₄ und L₅ des Jupiter halten sich die (erstmals bei Jupiter so genannten) Trojaner auf, eine Gruppe von Asteroiden. Sie haben dieselbe Umlaufperiode wie Jupiter, eilen ihm aber im Mittel 60deg vor bzw. nach und umkreisen dabei die Punkte L₄ und L₅ periodisch in weiten Bogen. Bislang sind an L₄ und L₅ circa 8300 beziehungsweise 4700 Trojaner bekannt (Stand Anfang 2023) und in den Asteroidenlisten des Minor Planet Center erfasst,^[12] die Gesamtzahl wird auf einige Zehntausend geschatzt. Die Jupitertrojaner im Bereich des Lagrange-Punktes L₄ werden auch als Griechen bezeichnet. Der erste Trojaner (588) Achilles wurde 1906 von Max Wolf entdeckt. Der weitaus grosste Trojaner durfte der 1907 entdeckte (624) Hektor sein, ein unregelmassig geformter Asteroid von 416 km x 131 km x 120 km Ausdehnung.
  Die Raumsonde Lucy wurde 2021 gestartet, um diverse Jupitertrojaner bei L₄ und L₅ aus der Nahe zu beobachten.

• System Sonne-Mars:
  • 1990 wurde auch am Librationspunkt L₅ des Mars ein Mars-Trojaner entdeckt, der (5261) Eureka getauft wurde. Mittlerweile hat man acht weitere Mars-Trojaner entdeckt, davon einen am L₄-Punkt.

• System Sonne-Neptun:
  • Ende 2001 fand man auch 60deg vor Neptun einen Trojaner. Mit dem 4-m-Spiegelteleskop am Cerro Tololo aufgenommen, erhielt er den provisorischen Namen (612243) 2001 QR₃₂₂, war aber erst nach einem Jahr ,,gesichert". Er umrundet die Sonne wie Neptun in 166 Erdjahren.
  • 2010 wurde dann auch erstmals ein Neptuntrojaner am Lagrangepunkt L₅, 60deg hinter Neptun, nachgewiesen, 2008 LC₁₈.
  • Mit Stand August 2022 waren 27 Trojaner an L₄ und 4 an L₅ bekannt.

• System Sonne-Uranus:
  • Mit (687170) 2011 QF₉₉ wurde ein Uranustrojaner an L₄ gefunden.

• System Sonne-Erde (Erdbegleiter):
  • Fur die Erde wurde von Astronomen der Athabasca University in Kanada im Jahr 2010 der erste bekannte Trojaner entdeckt, der Asteroid 2010 TK₇. Die Entdeckung wurde im Juli 2011 veroffentlicht.^[14][3] Er bewegt sich um den Lagrange-Punkt L₄.
  • Im Dezember 2020 spurte das Pan-STARRS-Teleskop einen weiteren verdachtigen Lichtpunkt am Lagrangepunkt 4 auf; die Beobachtung wurde vom SOAR-Teleskop auf dem Cerro Pachon in Chile bestatigt. Nach diesen Untersuchungen konnte dieser Asteroid einen mittleren Durchmesser von 1,2 Kilometer haben und damit rund dreimal so gross wie 2010 TK7.
  • In den 1950er Jahren wurden Staubwolken um die L₄- und L₅-Punkte des Systems Sonne-Erde gefunden.
  • Die geplanten Sonnenobservatorien Xihe 2 und ESA Vigil sollen sich bei L₅ aufhalten und von dort die Sonne beobachten und Informationen uber das Weltraumwetter sammeln. Es sind die bislang einzigen Raumfahrzeuge, die an L₄ oder L₅ stationiert werden sollen.
• System Erde-Mond
  • In den L₄- und L₅-Punkten des Systems Erde-Mond wurden ebenfalls sehr schwache Staubwolken gefunden, die Kordylewskischen Wolken. Sie sind noch schwacher ausgepragt als der lichtschwache Gegenschein.
  • Es gibt einige Asteroiden, die sich auf einer sogenannten Hufeisenumlaufbahn zusammen mit der Erde (also einer mittleren Umlaufdauer von einem Jahr) um die Sonne bewegen. Der Ubergang von einem Trojaner zu einer Hufeisenbahn ist fliessend: Wenn der Abstand eines Trojaners zum L₄- oder L₅-Punkt zu gross ist, dann wird er einmal auf der Erdbahn den der Erde entgegengesetzten Punkt uberschreiten und dann in Richtung des anderen Lagrange-Punktes wandern. Insbesondere die Bahn des am 9. Januar 2002 mit Hilfe der automatischen Himmelsuberwachung LINEAR (Lincoln Near Earth Asteroid Research) entdeckten Asteroiden 2002 AA₂₉ (ein Objekt mit nicht einmal 100 m Durchmesser) ist bemerkenswert. Er umkreist die Sonne auf einer der Erdbahn sehr ahnlichen Umlaufbahn, wobei er vom mit der Erdbewegung mitbewegten Bezugssystem aus gesehen entlang der Erdbahn im Lauf von 95 Jahren einen Bogen von fast 360deg beschreibt, den er in weiteren 95 Jahren wieder zuruckschwingt. Die Form des Bogens erinnert an ein Hufeisen, daher der Name Hufeisenbahn. Die stabilste derzeit bekannte Hufeisenbahn eines Erdbegleiters besitzt (419624) 2010 SO₁₆.

• Mondsystem des Saturns (Koorbitale Monde, Trojanermonde):
  • Weitere Trojaner gibt es im Mondsystem des Saturns. So hat der Saturnmond Tethys die kleinen Monde Telesto in seinem L₄- und Calypso an seinem L₅-Punkt.
  • Der Saturnmond Dione hat die Monde Helene und Polydeuces an seinem L₄- bzw. L₅-Punkt.

Die Positionen lassen sich analytisch herleiten, wenn man die drei Massen auf einer rotierenden Linie anordnet und fur jede der drei Massen fordert, dass die gravitative Anziehung der beiden anderen Massen sie auf einer Kreisbahn halt. Dies fuhrt jedoch zu Gleichungen funften Grades.

Naherungslosungen dieser Gleichungen sind (der relative Fehler bezogen auf ${\displaystyle l_{2}-r}$ beim System Sonne - Erde betragt etwa 0,33 %, bei Erde-Mond bis zu 6 %):

${\displaystyle \textstyle l_{1}=r\left(1-{\sqrt[{3\,}]{\frac {\mu }{3}}}\right)}$

${\displaystyle \textstyle l_{2}=r\left(1+{\sqrt[{3\,}]{\frac {\mu }{3}}}\right)}$

${\displaystyle \textstyle l_{3}=-r\left(1+{\frac {5\mu }{12}}\right)}$

mit dem Abstand ${\displaystyle r}$ zwischen den beiden Korpern mit den Massen ${\displaystyle m}$ und ${\displaystyle M}$ sowie ${\displaystyle \textstyle \mu ={\frac {m}{m+M}}}$.
${\displaystyle l_{1}}$, ${\displaystyle l_{2}}$ und ${\displaystyle l_{3}}$ sind die (vorzeichenbehafteten) Abstande der jeweiligen Lagrangepunkte vom schwereren Korper der Masse ${\displaystyle M}$. Genauere Formeln konnen durch Potenzreihenentwicklungen nach ${\displaystyle \nu ={\sqrt[{3\,}]{\tfrac {\mu }{3}}}}$ hergeleitet werden, z. B. die Naherung zweiter Ordnung

${\displaystyle \textstyle l_{2}=r\left(1+\nu +{\frac {\nu ^{2}}{3}}-{\frac {\nu ^{3}}{9}}+\ldots \right)}$

mit einem relativen Fehler kleiner als ${\displaystyle 0{,}8\ \nu ^{3}}$ (${\displaystyle \nu }$ <= 1/4). Dies liefert beim System Erde - Mond eine Ungenauigkeit von nur noch etwa 0,3 % und beim System Sonne - Erde von 0,00008 %. Letzteres entspricht immerhin noch einer Ungenauigkeit von etwa 1,2 km. Fur konkrete Werte von ${\displaystyle \nu }$ gelangt man von diesen Naherungen mit dem Newton-Verfahren zu hoherer Genauigkeit.

Wenn man drei Korper mit gleicher Masse umeinander auf einer gemeinsamen Kreisbahn rotieren lasst, liegen der Massenmittelpunkt und das Gravizentrum der Anordnung im Mittelpunkt der Kreisbahn. Bei einer bestimmten, vom Abstand der Massen abhangigen Winkelgeschwindigkeit ist jeder der drei Korper kraftefrei und das System befindet sich im Gleichgewicht. Die direkte Gravitationswirkung der drei Korper aufeinander ist dann ausgeglichen, wenn auf der Kreisbahn die drei Korper den gleichen Abstand zueinander einnehmen. Das kann aber nur in einem gleichseitigen Dreieck der Fall sein. Dort ist der Winkel der einzelnen Seiten zueinander gleich und betragt 60deg.

Verandert man nun die Massen, dann wird der gemeinsame Schwerpunkt, um den das System rotiert, zu der schwersten Masse hin verschoben. Die Eigenschaft, dass das Dreieck gleichseitig ist und folglich die Winkel der Massen zueinander 60deg sind, wird dadurch aber nicht beeinflusst.

Somit ist der Abstand zu den beiden Lagrange-Punkten L₄ und L₅ gleich der Entfernung zwischen den beiden schweren Himmelskorpern r, und die Entfernung zum Fusspunkt bzw. die x-Koordinate und der seitliche Abstand bzw. die y-Koordinate betragen

${\displaystyle \textstyle l_{x}=r\cdot \cos 60^{\circ }={\frac {1}{2}}r}$

${\displaystyle \textstyle l_{y}=r\cdot \sin 60^{\circ }={\frac {\sqrt {3}}{2}}r}$

Bei vergleichbar grossen Massen bewegen sich drei Korper in einem Rotationssystem im Allgemeinen chaotisch umeinander. Anders sieht es aus, wenn entweder die Masse der drei Korper gleich gross oder einer der drei Korper sehr klein gegenuber den beiden anderen ist. Lagrange betrachtete den letzteren Fall. Der erstere ist hingegen gut verwendbar zum Einstieg in das Verstandnis des Effekts, der zum Gleichgewicht im letzteren Fall fuhrt:

Lagrange ging in seiner Herleitung davon aus, dass einer der Korper eine verschwindend geringe Masse haben soll, sodass der Masseschwerpunkt nur noch von den beiden schwereren Korpern bestimmt wird und zwischen diesen liegt; ausserdem davon, dass die beiden schwereren deutlich unterschiedliche Masse haben, also im Wesentlichen der mittelschwere (Planet) um den schwersten (Sonne) kreist. Ausserdem davon, dass auch dann, wenn einer der beiden massereichen Korper der deutlich schwerste (Sonne) ist, dieser Masseschwerpunkt deutlich aus dessen Mittelpunkt herausgeschoben ist. Das bedeutet unter anderem, dass der massereichste Korper (Sonne) aufgrund der Wechselwirkung mit dem zweitschwersten Korper (Planet) deutlich um den gemeinsamen Masseschwerpunkt herum wandert. Genau dann und proportional zu dieser Verschiebung des Masseschwerpunkts passiert es, dass die beiden massereichen Korper am Schwerpunkt vorbei aus entgegengesetzten Richtungen auf den kleinsten Korper im betrachteten System einwirken konnen - ahnlich dem eingangs betrachteten Rotationssystem mit den drei gleich grossen Massen, nur dass der Winkel, unter dem der schwerste Korper (Sonne) auf den betrachteten Kleinkorper am Masseschwerpunkt vorbeiwirkt, extrem klein (aber trotzdem ungleich 0) ist.

Nun zeigt sich, dass im Fall relativ grosser Massenverhaltnisse erstens wieder eine stabile Bahn der drei Korper zustande kommt und zweitens das Gebilde unabhangig vom konkreten Massenverhaltnis immer jenes gleichseitige Dreieck bleibt (nur dass es um einen Schwerpunkt nahe bei der Sonne anstatt genau in der Mitte der drei Korper kreist).

Das Modell ist nicht ohne Weiteres auf Mehrplanetensysteme wie unser Sonnensystem anwendbar. Die Auslenkung der Sonne um ihren Mittelpunkt wird bei uns im Wesentlichen von Jupiter bestimmt. Dieser Planet ist es dann auch, der als einziger etliche Masseteilchen um seine Lagrange-Punkte L₄ und L₅ herum angesammelt hat. Alle anderen Planeten lenken die Sonne im Verhaltnis dazu nur zu Bruchteilen ab, sodass die Bewegung der Sonne aus deren Sicht von einer chaotischen Funktion hoher Amplitude in Bezug auf das Lagrange-Modell uberlagert ist. Durch statistische Effekte (unterschiedliche Umlauffrequenzen) und lineare Uberlagerung konnen die Lagrange-Punkte allerdings auch bei den kleineren Planeten wirken.

Die ersten drei Lagrangepunkte sind nur bezuglich Abweichungen senkrecht zu der Verbindungslinie zwischen den beiden grossen Korpern stabil, wahrend sie bezuglich Abweichungen in Richtung dieser Verbindungslinie instabil sind. Am einfachsten kann man das anhand des L₁-Punktes sehen. Auf eine Testmasse m, die von L₁ aus entlang eines der roten Pfeile senkrecht von der Verbindungslinie entfernt wird, wirkt eine Kraft zuruck in den Gleichgewichtspunkt (in y-Richtung: anziehende Effektivkraft). Grund dafur ist, dass die waagerechten Kraftkomponenten der beiden grossen Korper sich gegenseitig aufheben, wahrend sich ihre senkrechten Kraftkomponenten addieren. Wird hingegen ein Objekt von L₁-Punkt aus etwas naher an einen der beiden anderen Korper bewegt (die blauen Pfeile), so ist die Gravitationskraft des Korpers, dem er naher gekommen ist, grosser: Er entfernt sich also vom Gleichgewichtspunkt (in x-Richtung: abstossende Effektivkraft). Das Objekt verhalt sich also so ahnlich, wie sich eine Kugel auf einer Sattelflache verhalten wurde, deren tiefere Bereiche zu den beiden grossen Korpern zeigen.

Die Punkte L₁ und L₂ sind also zwar instabil, aber dennoch von Nutzen, da beispielsweise geringe Korrekturmanover einer Raumsonde ausreichen, um sie dort zu halten. Ohne diese wurde sie sich von diesen Punkten entfernen.

Im Gegensatz dazu sind um L₄ und um L₅ stabile Bahnen moglich, sofern das Massenverhaltnis der beiden grossen Korper grosser als ${\textstyle (25+{\sqrt {621}})/2\approx 25}$ ist.^[15][4] So ist zum Beispiel das Verhaltnis der Sonnenmasse 2 * 10³⁰ kg zur Erdmasse 6 * 10²⁴ kg weitaus grosser.

Wird ein an diesen Punkten befindlicher kleiner Korper leicht ausgelenkt, so bringt ihn die Corioliskraft aus der Sicht des Bezugssystems, in dem die Lagrangepunkte ruhen, in eine nierenformige Umlaufbahn um diesen Punkt. Er bleibt also auch ohne Korrekturmanover in der Nahe dieser Punkte.

• Martin Hechler: Die Bahnen der Weltraumteleskope Herschel und Planck. In: Sterne und Weltraum. Heidelberg 47.2008, Nr. 1 (Jan.), S. 48-55. ISSN 0039-1263 (Zusammenfassung).
• Claudio Maccone: Planetary defense from the nearest 4 lagrangian points plus rfi-free radioastronomy from the farside of the moon. A unified vision. Acta Astronautica, Volume 50, Issue 3, Februar 2002, S. 185-199. doi:10.1016/S0094-5765(01)00176-X.

• Kann man im All parken? aus der Fernseh-Sendereihe alpha-Centauri (ca. 15 Minuten). Erstmals ausgestrahlt am 28. Apr. 2004.
• Michael Khan: Lagrange-Punkte? Wie bitte? Bei: scilogs.de.
• Neil J. Cornish: The Lagrange Points. Bei: nasa.gov. Artikel zum Thema mit einfachen Formeln und Diagrammen (englisch; PDF; 171 kB).
• Neil J. Cornish: The Lagrange Points. Montana State University, 21. Mai 1999, archiviert vom Original (nicht mehr online verfugbar) am 8. Mai 2015; abgerufen am 6. November 2017. Artikel zu Lagrangepunkten mit weiterfuhrenden Links (englisch).
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