Periode orbital

El periode orbital, conegut tambe com a periode de revolucio i simbolitzat ${\displaystyle T}$,^[1] es el temps que triga un cos a completar la seva orbita al voltant d'un altre cos mes massiu.^[2] Les unitats que s'empren son les hores, els dies i els anys. Es un valor que es mante constant en el temps. Si es produeix un canvi d'orbita per efecte d'un tercer cos, el periode tambe canvia.

En astronomia, sol aplicar-se a planetes, planetes nans, asteroides i cometes que orbiten al voltant del Sol (per exemple la Terra, Pluto, Minerva o el cometa de Halley), llunes que orbiten planetes (com la Lluna que orbita la Terra, Ganimedes que orbita Jupiter, etc.), exoplanetes que orbiten altres estrelles (es el cas de 51 Pegasi b que orbita 51 Pegasi) o estrelles que orbiten altres estrelles (estrelles binaries com Sirius). En astronautica els periodes son caracteristics dels satel*lits artificials que orbiten la Terra (com el satel*lit de comunicacions Hispasat 30W-6), la Lluna, Mart (com el de la Mars Orbiter Mission) o d'altres cossos del sistema solar.

Per a orbites circulars de radi ${\displaystyle r}$ el cos que orbita el cos central es mou a velocitat constant ${\displaystyle v}$ i recorre una trajectoria circular de longitud ${\displaystyle 2\pi r}$. En aquest cas, la relacio amb el periode ${\displaystyle T}$ s'obte amb la formula de la velocitat del moviment circular uniforme:^[3]

$${\displaystyle v={\frac {2\pi r}{T}}\quad \quad \quad T={\frac {2\pi r}{v}}}$$

Hom defineix el parametre gravitacional ${\displaystyle \mu }$ com ${\textstyle \mu =G(M_{1}+M_{2})}$, on ${\displaystyle G}$ es la constant de la gravitacio i ${\displaystyle M_{1}}$ i ${\displaystyle M_{2}}$, les masses del cos central i del cos que l'orbita, respectivament. Es pot demostrar a partir de la llei de la gravitacio universal d'Isaac Newton (1642-1727) que el periode depen de les masses dels cossos que orbiten, de la constant de gravitacio i del radi segons la formula:^[3]

$${\displaystyle T={\frac {2\pi }{\sqrt {\mu }}}r^{\frac {3}{2}}}$$

A major radi major sera el periode, mes temps emprara el cos en completar la seva orbita. A major massa del cos central menor sera el periode. El cos completara una revolucio mes rapidament, amb ments temps.^[3]

En el cas d'una orbita el*liptica la velocitat no es constant. Tanmateix, es pot obtenir la formula del periode a partir de la segona llei de Kepler (llei de les arees) i de la llei de la gravitacio universal. D'aquesta manera hom arriba a una formula semblant a la de l'orbita circular:^[3]

$${\displaystyle T={\frac {2\pi }{\sqrt {\mu }}}a^{\frac {3}{2}}}$$

on ${\displaystyle a}$ es el semieix major de l'orbita o radi mitja. S'observa que el periode d'una orbita el*liptica es independent de la seva excentricitat orbital, malgrat que la distancia que es recorr pugui ser molt diferent.^[3]

La 3a llei de Kepler o llei harmonica fou descoberta per l'astronom Johannes Kepler (1571-1630) i publicada al llibre Harmonices mundi (L'harmonia dels mons, 1619). Com la primera llei i la segona llei, publicades el 1609 al llibre Astronomia nova (Nova astronomia), es una llei sobre el moviment dels planetes al voltant del Sol que Kepler dedui a partir de les precises observacions de l'astronom Tycho Brahe (1546-1601). La tercera llei diu que els periodes orbitals dels planetes ${\displaystyle T}$ al quadrat son proporcionals als cubs de les seves distancies mitjanes ${\displaystyle a}$ al Sol. Matematicament:

$${\displaystyle T^{2}=k\cdot a^{3}}$$

Si s'apliquen logaritmes s'obte una equacio que es pot representar facilment:

$${\displaystyle \log T^{2}=\log(k\cdot a^{3})}$$$${\displaystyle 2\cdot \log T=\log k+3\cdot \log a}$$$${\displaystyle \log T={\tfrac {1}{2}}\log k+{\tfrac {3}{2}}\log a}$$

La representacio grafica dels logaritmes dels periodes enfront dels logaritmes dels semieixos major dona una recta i permet incloure en un mateix grafic periodes i distancies d'ordre de magnitud diferents.

Existeix, per tant, una estreta relacio entre periodes i distancies mitjanes o semieixos majors de les orbites. Si se'n fixa un, l'altre queda determinat per la 3a llei de Kepler. Aixi qualsevol cos que estigui a l'orbita de la Terra te un periode orbital d'1 any.

Aquesta llei es va veure que tambe la complien els satel*lits naturals dels planetes i tambe els artificials. Cada sistema te una constant caracteristica (constant de Kepler) que depen de la massa del cos central, com demostra Isaac Newton (1642-1727). Segons la teoria de la gravitacio universal, exposada al llibre Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (1687), la constant de la tercera llei de Kepler esta relacionada amb la massa dels cossos que orbiten al voltant del seu centre de masses (baricentre) de la seguent manera, on ${\displaystyle G}$ es la constant de la gravitacio:^[4][5]

$${\displaystyle k={\frac {4\cdot \pi ^{2}}{G\cdot M_{Sol}(1+{\frac {M_{planeta}}{M_{Sol}}})}}={\frac {4\cdot \pi ^{2}}{G\cdot (M_{Sol}+M_{planeta})}}\approx {\frac {4\cdot \pi ^{2}}{G\cdot M_{Sol}}}}$$

A causa del fet que les masses dels planetes son molt mes petites que la massa del Sol ${\displaystyle M_{planeta}<$, el centre de masses del sistema practicament coincideix amb el centre del Sol, i la fraccio es practicament constant, com descobri Kepler. Per altra banda, aquesta expressio es aplicable a qualsevol sistema substituint la massa del Sol per la massa del cos central. Aixi, les constants de Kepler son caracteristiques de cada sistema.^[4]

Els periodes es poden determinar de manera simple a partir d'observacions astronomiques.

Hi ha dos tipus de periodes orbitals d'objectes que fan voltes a entorn del Sol:

• El periode sideri es el temps que triga un objecte a fer una volta completa al voltant del Sol, respecte de les estrelles. Aquest es considera l'autentic periode orbital de l'objecte.^[11]
• El periode sinodic es el temps que triga un objecte a tornar a apareixer en el mateix punt del cel respecte a la Terra. Aquest es el temps que transcorre entre dues conjuncions superiors o inferiors successives amb el Sol, si el planeta es interior; i dues conjuncions o oposicions successives si el planeta es exterior. El periode sinodic diferix del periode sideri, ja que la Terra fa voltes entorn del Sol. La veu sinodic, en grec, significa 'reunio' o 'conjuncio'. Des de l'antiguitat, es coneix tal periode per a tots els planetes.^[12]

Copernic va desenvolupar una formula matematica per relacionar els periodes sideri i sinodic d'un planeta.

En avant, s'empraran els simbols seguents:

P = periode sideri del planeta

S = periode sinodic del planeta

T = periode sideri/sinodic de la Terra

En passar un temps S, la Terra recorre un angle de (360deg/T)S (supose's una orbita completament circular) i el planeta es mou (360/P)S.

Considerem el cas d'un planeta interior, es a dir, un planeta que tarda menys que la Terra a fer un retorn del Sol.

(360/P)S = (360/T)S + 360

Usant l'algebra obtenim:

1/P = 1/T + 1/S

Per a un planeta exterior, es procedeix de manera analoga:

1/P = 1/T - 1/S

Els periodes orbitals de planetes, llunes, asteroides... es mantenen constants al llarg de la historia del sistema solar.^[13] Perque hi hagi un canvi s'ha de canviar d'orbita. La interaccio amb un cos massiu diferent del cos central pot donar lloc a modificacions de l'orbita i, per tant, tambe del periode. Si l'estel central perd massa tambe es produira un augment dels periodes dels cossos que l'orbitin.^[14]

La variacio del periode orbital es un fenomen ben conegut en els estudis de sistemes binaris i de sistemes estrella-planeta. Aquestes variacions es caracteritzen per fluctuacions en els intervals entre eclipsis consecutius, sigui de l'estrella primaria o de la secundaria, en un sistema binari. L'estudi de la variacio del periode orbital ha proporcionat una comprensio profunda de diversos aspectes dels sistemes estel*lars binaris, incloent-hi la transferencia de massa, l'activitat magnetica i la presencia de tercers cossos.^[15]

• Orbita geoestacionaria
• Periode de rotacio
• Temps sideri
• Any sideri
• Oposicio (astronomia)

• Bate, Roger B.; Mueller, Donald D.; White, Jerry E. Fundamentals of Astrodynamics. Dover, 1971.