Coordenaes polares

Nel planu d'exes xy con centru de coordenaes nel puntu O puede definise un sistema de coordenaes polares d'un puntu M del planu, definies pola distancia r al centru de coordenaes, y l'angulu ${\displaystyle \theta }$ del vector de posicion sobre la exa x.

La ecuacion xeneral pa una circunferencia con centru en (${\displaystyle r}$₀, ph) y radiu ${\displaystyle a}$ ye

${\displaystyle r^{2}-2rr_{0}\cos(\theta -\varphi )+r_{0}^{2}=a^{2}.\,}$

En ciertos casos especificos, la ecuacion anterior puede simplificase. Por casu, pa una circunferencia con centru nel polu y radiu a, llograse:^[8]

${\displaystyle r(\theta )=a\,}$

Les llinies radiales (aquelles que traviesen el polu) representar por aciu la ecuacion

${\displaystyle \theta =\varphi \,}$

onde ph ye l'angulu d'elevacion de la llinia, esto ye, ph = arctan ${\displaystyle m}$ onde ${\displaystyle m}$ ye la pendiente de la llinia nel sistema de coordenaes cartesianes. La llinia non radial que crucia la llinia radial th = ph perpendicularmente al puntu (${\displaystyle r}$₀, ph) tien la ecuacion

${\displaystyle r(\theta )={r_{0}}\sec(\theta -\varphi ).\,}$

La rosa polar ye una famosa curva matematica que paez una flor con petalos, y puede espresase como una ecuacion polar simple,

${\displaystyle r(\theta )=a\cos(k\theta +\phi _{0})\,}$

pa cualesquier constante ${\displaystyle \phi _{0}}$ (incluyendo al 0). Si k ye un numberu enteru, estes ecuaciones representen una rosa de k petalos cuando k ye impar, o 2k petalo si k ye par. Si k ye racional pero non enteru, la grafica ye similar a una rosa pero colos petalos asolapaos. Notese qu'estes ecuaciones nunca definen una rosa con 2, 6, 10, 14, etc. petalos. La variable a representa'l llargor de los petalos de la rosa.

Si tomamos solu valores positivos pa r y valores nel intervalu ${\displaystyle [0,2\pi )\,}$ pa ${\displaystyle \theta \,}$ , la grafica de la ecuacion:

${\displaystyle r(\theta )=\left|a\sin \left({\frac {k}{2}}\theta +\phi _{0}\right)\right|\,}$

ye una rosa de k petalos, pa cualquier numberu natural ${\displaystyle k\,}$. Y si ${\displaystyle k=0\,}$, la grafica ye una circunferencia de radiu ${\displaystyle r=|a\sin(\phi _{0})|\,}$

La espiral de Arquimedes ye una famosa espiral descubierta por Arquimedes, que puede espresase tamien como una ecuacion polar simple. Representar cola ecuacion

${\displaystyle r(\theta )=a+b\theta .\,}$

Un cambeu nel parametru a va producir un xiru na espiral, ente que b controla la distancia ente los brazos, que ye constante pa una espiral dada. La espiral de Arquimedes tien dos brazos, unu pa th > 0 y otru pa th < 0. Los dos brazos tan coneutaos nel polu. La imaxe especular d'un brazu sobre la exa vertical produz l'otru brazu. Esta curva foi una de les primeres curves, dempues de les seiciones coniques, en ser descrites en trataos matematicos. Amas ye'l principal exemplu de curva que puede representase de forma mas facil con una ecuacion polar.

Otros exemplos d'espirales son la espiral logaritmica y la espiral de Fermat.

Una seicion conica con un focu nel polu y l'otru en cualquier puntu de la exa horizontal (de cuenta que el semiexe mayor de la conica fuelgue sobre la exa polar) ye dada por:

${\displaystyle r={\ell \over {1+y\cos \theta }}}$

onde y ye la escentricida y ${\displaystyle \ell }$ ye'l semilado rectu (la distancia perpendicular a un focu dende la exa mayor a la curva). Si y > 1, esta ecuacion define una hiperbola; si y = 1, define una parabola; y si y < 1, define una elipse. Pa la elipse, el casu especial y = 0 resulta nun circulu de radiu ${\displaystyle \ell }$.

Partiendo de les ecuaciones de conversion ente coordenaes rectangulares y polares, y tomando derivaes parciales llograse

${\displaystyle r{\tfrac {\partial }{\partial r}}=x{\tfrac {\partial }{\partial x}}+y{\tfrac {\partial }{\partial y}}\,}$

${\displaystyle {\tfrac {\partial }{\partial \theta }}=-y{\tfrac {\partial }{\partial x}}+x{\tfrac {\partial }{\partial y}}.}$

P'atopar la rimada en cartesianes de la recta tanxente a una curva polar r(th) nun puntu dau, la curva tien d'espresase primero como un sistema d'ecuaciones parametricas

${\displaystyle x=r(\theta )\cos \theta \,}$

${\displaystyle y=r(\theta )\operatorname {sen} \theta \,}$

Estremando dambes ecuaciones al respeutive de th resulta

${\displaystyle {\frac {dx}{d\theta }}=r'(\theta )\cos \theta -r(\theta )\operatorname {sen} \theta \,}$

${\displaystyle {\frac {dy}{d\theta }}=r'(\theta )\operatorname {sen} \theta +r(\theta )\cos \theta .\,}$

Estremando la segunda ecuacion pola primera llograse la rimada cartesiana de la recta tanxente a la curva nel puntu (r, r(th)):

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {r'(\theta )\operatorname {sen} \theta +r(\theta )\cos \theta }{r'(\theta )\cos \theta -r(\theta )\operatorname {sen} \theta }}.}$

Sia R una rexon del planu delimitada pola curva continua r(th) y les semirrectas th = a y th = b, onde 0 < b - a < 2p. Entos, l'area de R vien dau por

${\displaystyle S={\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}r(\theta )^{2}\,d\theta .}$

Esta resultancia puede llograse de la siguiente manera. De primeres, l'intervalu [a, b] estremar en n subintervalos, onde n ye un enteru positivu cualesquier. Polo tanto Dth, el llargor de cada subintervalo, ye igual a b - a (el llargor total del intervalu) estremau por n (el numberu de subintervalos). Pa cada subintervalo i = 1, 2, ..., n, seya th_i el so puntu mediu. Puede construyise un sector circular con centru nel polu, radiu r(th_i), angulu central Dth y llargor d'arcu ${\displaystyle r(\theta _{i})\Delta \theta \,}$. L'area de cada sector ye entos igual a

${\displaystyle S_{i}={\tfrac {1}{2}}r(\theta _{i})^{2}\Delta \theta }$.

Poro, l'area total de tolos sectores ye

${\displaystyle S_{n}=\sum _{i=1}^{n}S_{i}=\sum _{i=1}^{n}{\tfrac {1}{2}}r(\theta _{i})^{2}\,\Delta \theta .}$

Cuanto mayor seya n, meyor ye l'aproximamientu al area. Na llende, cuando n - , la suma pasa a ser una suma de Riemann, y por tanto converxe na integral

${\displaystyle \lim _{n\to +\infty }S_{n}={\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}r(\theta )^{2}\mathrm {d} \theta =S}$

Usando les coordenaes cartesianes, un elementu d'area infinitesimal pue ser calculau como da = dx dy. El metodu d'integracion per sustitucion pa les integrales multiples establez que, cuando s'utiliza otru sistema de coordenaes, tien de tenese en cuenta la matriz de conversion Jacobiana:

${\displaystyle J=\det {\frac {\partial (x,y)}{\partial (r,\theta )}}={\begin{vmatrix}{\frac {\partial x}{\partial r}}&{\frac {\partial x}{\partial \theta }}\\{\frac {\partial y}{\partial r}}&{\frac {\partial y}{\partial \theta }}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}\cos \theta &-r\operatorname {sen} \theta \\\operatorname {sen} \theta &r\cos \theta \end{vmatrix}}=r\cos ^{2}\theta +r\operatorname {sen} ^{2}\theta =r.}$

Poro, un elementu d'area en coordenaes polares puede escribise como:

${\displaystyle da=J\,dr\,d\theta =r\,dr\,d\theta .}$

Una funcion en coordenaes polares pue ser integrada como sigue:

${\displaystyle \iint _{R}f(r,\theta )\,da=\int _{a}^{b}\int _{0}^{r(\theta )}f(r,\theta )\,r\,dr\,d\theta .}$

onde R ye la rexon entendida por una curva r(th) y les rectes th = a y th = b.

La formula pa l'area de R mentada enriba llograse tomando f como una funcion constante igual a 1. Una de les aplicaciones d'estes formules ye'l calculu de la Integral de Gauss :${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }y^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}.}$

El calculu vectorial puede aplicase tamien a les coordenaes polares. Sia ${\displaystyle \mathbf {r} }$ el vector de posicion ${\displaystyle (r\cos \theta ,r\operatorname {sen} \theta )\,}$, con r y ${\displaystyle \theta }$ dependientes del tiempu t.

Sia :${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}=(\cos \theta ,\operatorname {sen} \theta )}$.

un vector unitariu na direicion de ${\displaystyle \mathbf {r} }$ y :${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\theta }}}=(-\operatorname {sen} \theta ,\cos \theta )}$

un vector unitariu ortogonal a ${\displaystyle \mathbf {r} }$. Les derivaes primer y segundo del vector de posicion son:

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}={\dot {r}}{\hat {\mathbf {r} }}+r{\dot {\theta }}{\hat {\boldsymbol {\theta }}},}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}\mathbf {r} }{dt^{2}}}=({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}){\hat {\mathbf {r} }}+(r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}){\hat {\boldsymbol {\theta }}}=({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}){\hat {\mathbf {r} }}+{\frac {1}{r}}\quad {\dot {\overbrace {r^{2}{\dot {\theta }}} }}\quad {\hat {\boldsymbol {\theta }}}}$

El sistema de coordenaes polares puede estendese a tres dimensiones con dos sistemes de coordenaes distintes: el sistema de coordenaes cilindriques y el sistema de coordenaes esferiques. El sistema de coordenaes cilindriques anade una coordenada de distancia, ente que'l sistema de coordenaes esferiques anade una coordenada angular.

Ye posible xeneralizar estes ampliaciones de forma que se llogre un sistema de representacion pa 4 o mas dimensiones. Por casu, pa 4 dimensiones llograse :${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\rho \operatorname {sen} \gamma \operatorname {sen} \phi \cos \theta \\y&=\rho \operatorname {sen} \gamma \operatorname {sen} \phi \operatorname {sen} \theta \\z&=\rho \operatorname {sen} \gamma \cos \phi \\t&=\rho \cos \gamma \end{aligned}}}$

Les coordenaes polares usense de cutiu en navegacion, una y bones el destin o la direicion del trayeutu pueden venir daos por un angulu y una distancia al oxetu considerau. Les aeronaves, por casu, utilicen un sistema de coordenaes polares llixeramente modificau pa la navegacion.

Los Sistemes son Busterniano simetria radial tienen unes carauteristiques fayadices pal sistema de coordenaes polares, col puntu central actuando como polu. Un primer exemplu d'esti usu ye la ecuacion del fluxu de les agues soterranes cuando s'aplica a pozos radialmente simetricos. De la mesma manera, los sistemes influyios por una fuercia central son tamien bonos candidatos pal usu de les coordenaes polares. Dellos exemplos son les antenes radioelectriques, o los campos gravitatorios, qu'obedecen a la llei de la inversa del cuadrau (vease'l problema de los dos cuerpos).

Los sistemes radialmente asimetricos tamien pueden modelase con coordenaes polares. Por casu la direutividad d'un microfonu, que caracteriza la sensibilida del microfonu en funcion de la direicion del soniu recibiu, puede representase por curves polares. La curva d'un microfonu cardioide estandar, el mas comun de los microfonos, tien por ecuacion r = 0,5 + 0,5 sen th.^[13]

Un problema nel analis matematicu de funciones de delles variables ye la dificulta pa probar la esistencia d'una llende, ya que pueden llograse distintes resultaos segun la trayeutoria d'aproximamientu al puntu. Nel orixe de coordenaes, unu de los puntos que tienen mas interes pal analis (por anular davezu funciones racionales o logaritmiques), esti problema puede arreglase aplicando coordenaes polares. N'otros puntos ye posible realizar un cambeu de sistema de referencia y asina aplicar el trucu.

Al sustituyir les coordenaes cartesianes x, y, z... polos sos correspondientes equivalencies en coordenaes polares, la llende al averase al orixe amenorgar a una llende d'una unica variable, lo que resulta bono de calcular por ser el senu y el cosenu funciones acutaes y r un infinitesimu. Si la resultancia nun amuesa dependencia angular, ye posible aseverar que la llende ye indistintu del puntu y trayeutoria dende'l que s'avero.