Integrala improprie

De la Wikipedia, enciclopedia libera

In analiza matematica, o integrala improprie este limita unei integrale definite, cand limita intervalului de integrare tinde la un numar real, la sau - sau, in unele cazuri, cand ambele capete ale intervalului de integrare se apropie de limite.

Mai exact, o integrala improprie nu este un fel de integrala, dar inseamna o expresie de forma

${\displaystyle \lim _{b\to c}\int _{a}^{b}f(x)\,dx}$

unde c este fie +, fie un numar real cu proprietatea ca |f(x)| - cand x - c^-.

sau

${\displaystyle \lim _{b\to a}\int _{b}^{c}f(x)\,dx}$

unde a este fie -, fie un numar real cu proprietatea ca |f(x)| - cand x - a⁺.

Chestiunile de baza ale teoriei sunt deci:

• Exista limita (problema de analiza matematica)?
• Poate fi calculata limita?

A doua parte poate fi tratata prin tehnici de calcul integral, dar in unele cazuri prin integrare pe contur, transformate Fourier si alte metode avansate.

De regula se folosesc notatii care se aseamana cu cele de la integrala tipica, dar fiecare simbol semnifica integrarea improprie.

${\displaystyle \int _{a}^{\infty }f(x)\,dx\,:=\lim _{t\to \infty }\int _{a}^{t}f(x)\,dx\,}$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{b}f(x)\,dx\,:=\lim _{t\to -\infty }\int _{t}^{b}f(x)\,dx\,}$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx\,:=\lim _{t\to -\infty }\int _{t}^{a}f(x)\,dx\,+\lim _{t\to \infty }\int _{a}^{t}f(x)\,dx\,}$

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\,:=\lim _{t\to b^{-}}\int _{a}^{t}f(x)\,dx,\,{\mbox{unde}}\,\,\lim _{x\to b^{-}}|f(x)|=\infty }$

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\,:=\lim _{t\to a^{+}}\int _{t}^{b}f(x)\,dx,\,{\mbox{unde}}\,\,\lim _{x\to a^{+}}|f(x)|=\infty }$

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\,:=\lim _{t\to c^{-}}\int _{a}^{t}f(x)\,dx\,+\lim _{t\to c^{+}}\int _{t}^{b}f(x)\,dx,\,{\mbox{unde}}\,\,\lim _{x\to c}|f(x)|=\infty }$

In unele cazuri, integrala

${\displaystyle \int \limits _{a}^{c}f(x)\,dx\,}$

se poate defini fara a se face referire la limita

${\displaystyle \lim _{b\to c^{-}}\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx\,}$

dar nu exista o metoda convenabila diferita de calcul. Aceasta se intampla adesea cand f are asimptota verticala intr-una dintre limitele de integrare, sau daca una dintre aceste limite este = .

In unele cazuri, intervalul dintre a si c nici nu este definit, deoarece integralele partilor pozitiva si negativa ale lui f(x) dx de la a la c sunt ambele infinite, dar limita poate exista.

Exista mai multe teorii ale integrarii matematice. Din punctul de vedere al calculului integral, teoria integralei Riemann este folosita de obicei (ca teorie implicita, cu alte cuvinte, in discutiile privitoare la ce semnifica expresia cu semnul de integrala). In studiul integralelor improprii, poate conta teoria de integrare folosita.

Integrala

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{1+x^{2}}}}$

poate fi interpretata ca

${\displaystyle \lim _{b\to \infty }\int _{0}^{b}{\frac {dx}{1+x^{2}}}=\lim _{b\to \infty }\arctan {b}={\frac {\pi }{2}},}$

dar din punctul de vedere al analizei matematice nu este necesar sa se interpreteze astfel, deoarece se poate interpreta ca integrala Lebesgue pe multimea (0, ). Pe de alta parte, utilizarea limitei de integrale definite pe intervale finite este in mod cert utila, fie si doar ca metoda de calcul a valorilor.

Prin contrast,

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}\,dx}$

nu poate fi interpretata ca integrala Lebesgue, deoarece

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\left|{\frac {\sin(x)}{x}}\right|\,dx=\infty .}$

iar valoarea acesteia este data de

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}\,dx=\lim _{b\rightarrow \infty }\int _{0}^{b}{\frac {\sin(x)}{x}}\,dx={\frac {\pi }{2}}.}$

Se poate vorbi despre singularitatile unei integrale improprii, ceea ce inseamna punctele de pe axa reala extinsa in care se folosesc limitele.

Astfel de integrala este adesea scrisa simbolic ca o integrala definita standard, eventual cu infinit ca limita de integrare. Dar aceasta ascunde procesul de limitare. Folosind integrala Lebesgue, mai avansata, in locul integralei Riemann, in unele cazuri aceasta cerinta poate fi depasita, dar daca se doreste doar evaluarea limitei pentru obtinerea unui raspuns clar, aceasta modificare nu este in mod necesar de ajutor. Este mai mult sau mai putin esentiala in tratarea teoretica a transformatei Fourier, prin folosirea integralelor pe toata axa reala.

• C. Dochitoiu, A. Matei, Matematici economice generale, Editura Economica, 1995

Adus de la https://ro.wikipedia.org/w/index.php?title=Integrala_improprie&oldid=10760002

Categorie:

• Analiza matematica