Finitismo

Finitismo e uma filosofia da matematica que aceita a existencia de apenas objetos matematicos finitos. A filosofia finitista matematica e mais bem compreendida quando comparada a filosofia dominante da matematica, onde objetos matematicos infinitos, como conjuntos infinitos, sao aceitos como legitimos objetos matematicos existentes no universo platonico da matematica.

A principal ideia da matematica finitista e nao aceitar a existencia de objetos infinitos como os conjuntos infinitos. Embora todos os numeros naturais sejam aceitos como existentes, o conjunto de todos numeros naturais nao e considerado existente como um objeto matematico. Portanto, a quantificacao sobre dominios infinitos nao e considerada como algo que tenha significado. A teoria matematica frequentemente associada ao finitismo e a aritmetica primitiva recursiva de Thoralf Skolem.

A introducao dos objetos matematicos infinitos foi um desenvolvimento na matematica que ocorreu ha poucos seculos. O uso de objetos infinitos foi um tema controverso entre os matematicos. A questao encarou uma nova fase quando Georg Cantor, comecando em 1874, introduziu o que e hoje chamado de teoria ingenua dos conjuntos e usou disso como base para seu trabalho no campo dos numeros transfinitos. Quando paradoxos como o Paradoxo de Russell, Paradoxo de Berry e o Paradoxo de Burali-Forti foram descobertos atraves da teoria ingenua dos conjuntos de Cantor, a questao tornou-se um tema bastante "falado"(discutido) entre os matematicos.

Varios pontos de vista diferentes foram tomados pelos matematicos em relacao ao tema discutido . Todos concordavam a respeito dos objetos finitos matematicos como sendo numeros naturais. No entanto, havia varias discordancias em relacao aos objetos matematicos infinitos. Um dos pontos de vista foi o do intuicionismo matematico, defendido por Luitzen Egbertus Jan Brouwer, que rejeitou a existencia de objetos infinitos ate que eles estivessem "construidos".

Uma outra posicao foi a aprovada por David Hilbert: objetos matematicos finitos sao objetos concretos, objetos matematicos infinitos sao objetos abstratos (ideais), e a aceitacao dos objetos matematicos abstratos nao gera problema em relacao aos objetos matematicos finitos. Mais formalmente, Hilbert acreditava que e possivel mostrar que qualquer teorema sobre objetos matematicos finitos pode ser obtido usando tanto objetos abstratos infinitos como pode ser obtido sem usa-los. Portanto, aceitar objetos matematicos infinitos nao causaria problema quanto aos objetos finitos. Isso levou ao programa de Hilbert de provar a consistencia da teoria dos conjuntos por meio do uso de meios finitistas, pois isso implicaria o fato de que a adicao de objetos matematicos ideais e conservativa sobre a parte finitista. As observacoes de Hilbert tambem sao associadas a filosofia formalista da matematica (formalismo). O objetivo de Hilbert, de provar a consistencia da teoria dos conjuntos ou ate mesmo da aritmetica atraves de meios finitistas, tornou-se impossivel devido aos teoremas da incompletude de Godel. Entretanto, pela "grand conjecture" de Harvey Friedman, a maioria dos resultados matematicos deve ser provada usando meios finitistas.

Hilbert nao deu uma explicacao rigorosa sobre o que ele considera finitista e refere-se como elementar. Entretanto, baseado no seu trabalho junto com Paul Bernays, alguns "experts", como William Tait, argumentaram que a aritmetica primitiva recursiva pode ser considerada como um limite superior no que Hilbert considerava como matematica finitista.

Anos depois dos teoremas de Godel, quando ficou claro que nao existe esperanca em provar a consistencia da matematica e que com o desenvolvimento da teoria axiomatica, como os Axiomas de Zermelo-Fraenkel, e com a falta de qualquer evidencia contra a sua consistencia, a maioria dos matematicos perdeu interesse no tema em questao. Hoje, os matematicos mais classicos sao considerados platonicos e acreditam na existencia de objetos matematicos infinitos.

No seu livro "Philosophy of Set Theory", Mary Tiles caracteriza aqueles que "permitem" o objeto enumeravel (infinito contavel) como finitistas classicos, e aqueles que nao permitem os objetos enumeraveis como finitistas rigorosos (estritos). Historicamente, a matematica era classicamente finitista ate Cantor descobrir sobre a hierarquia dos cardinais transfinitos no final do seculo XIX.

Leopold Kronecker permaneceu como um opositor a teoria dos conjuntos de Cantor :

"Deus criou todos os numeros naturais, todo o resto e trabalho humano".

Reuben Goodstein e outro defensor do finitismo. Alguns de seus trabalhos envolveram a construcao ate a analise de fundamentos finitistas.

Apesar de negar, grande parte do trabalho matematico de Ludwig Wittgenstein tem uma grande relacao com o finitismo.

Se os finitistas forem comparados com os transfinitistas (defensores, de por exemplo, a hierarquia de infinitos de Georg Cantor), entao Aristoteles poderia ser considerado como um finitista estrito (rigoroso). Aristoteles promoveu a nocao do infinito potencial como sendo uma opcao intermediaria entre o finitismo estrito e o infinito real. (Note que o infinito real de Aristoteles significa simplesmente a realizacao de algo que nao tem fim na natureza, quando em contraste a isso, o infinito real de Cantor significa os numeros ordinais e cardinais transfinitos, que por sua vez nao tem nada a ver com as coisas na natureza) :

"Mas por outro lado, ao supor que o infinito nao existe, de qualquer forma, isso implica varias consequencias impossiveis : havera um comeco e um fim dos tempos, uma magnitude nao sera divisivel em magnitudes e numeros nao serao infinitos. Se, depois de tudo isso, levando em consideracao as observacoes acima, nenhuma alternativa parecer possivel, um arbitro devera ser chamado. "

-- Aristoteles, Fisica, Livro 3, Capitulo 6

Ultrafinitismo (tambem conhecido como ultraintuicionismo) tem uma atitude conservadora ainda maior em relacao aos objetos matematicos do que o finitismo, e tem objecoes a existencia dos objetos matematicos finitos quando eles sao muito grandes.

• Infinito atual e infinito potencial
• Numero transfinito

1. Eriksson, K., Estep D., and Johnson C. Applied Mathematics: Body and Soul. Volume 1. Springer, 2004, p. 230-232.
2. From an 1886 lecture at the 'Berliner Naturforscher-Versammlung', according to H. M. Weber's memorial article, Leopold Kronecker, in Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, Vol. 2 1891-92

• Finitism in Geometry(Finitismo na Geometria), na Stanford Encyclopedia of Philosophy.

• Logica filosofica
• Teorias dedutivas
• Infinito

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