Problema decisionale

Un problema decisionale nell'ambito della matematica riguarda un problema di scelta in cui si deve prendere una decisione tra un elevato numero di soluzioni (ammissibili) alternative, sulla base di uno o piu criteri. Si parla di problemi decisionali soprattutto all'interno del campo della matematica applicata e, piu nello specifico, della ricerca operativa.

La versione in Inglese di questa voce definisce un problema decisionale come un problema, appartenente alla teoria della computabilita ed alla teoria della complessita computazionale, che puo essere posto sotto forma di una domanda riguardante i dati in ingresso a cui possa essere data una risposta nella forma "si" oppure "no". Un esempio di problema decisionale e, dato un numero naturale, stabilire se si tratta di un numero primo.

I problemi decisionali sono caratterizzati da:

• Numero dei decisori: chi decide la soluzione al problema.
• Numero degli obiettivi: in base a quali criteri e decisa la soluzione del problema.
• Grado di incertezza dei dati: con quali (quantitativamente e qualitativamente) informazioni si decide la soluzione del problema.

Sulla base di queste caratteristiche diverse sono le scienze e le tecniche che si prefiggono di studiare e risolvere il problema:

• Programmazione matematica: un decisore, un obiettivo.
• Programmazione multi-obiettivo: piu obiettivi.
• Teoria dei giochi: piu decisori.
• Programmazione stocastica: grado di incertezza dei dati maggiore di zero.

Classici esempi di problemi decisionali sono:

• Assegnamento e distribuzione di risorse limitate;
• Progettazione di reti;
• Ricerca di cammini minimi.

Un problema di decisione e definito dalla sua forma canonica, ossia la quadrupla ${\displaystyle (\Omega ,\Delta ,W_{\delta }(\omega ),K)}$ dove ${\displaystyle \Omega }$ indica lo spazio degli stati di natura, ${\displaystyle \Delta }$ lo spazio delle decisioni, ${\displaystyle W_{\delta }(\omega )}$ la funzione di perdita e ${\displaystyle K}$ un criterio di ottimalita. In particolare, se si adotta un'impostazione bayesiana della teoria della decisione, ${\displaystyle \Omega }$ e sostituito dal corrispondente spazio di probabilita.

Una volta posto in forma canonica, allora tale problema e risolvibile come un problema di ottimizzazione: va cercato ${\displaystyle \min _{\delta \in \Delta }K(W_{\delta })}$.

Normalmente, si dota ${\displaystyle \Delta }$ di un preordinamento ponendo che ${\displaystyle \delta _{1}\succeq \delta _{2}}$ se ${\displaystyle W_{\delta _{1}}(\omega )\leq W_{\delta _{2}}(\omega )}$ per ogni ${\displaystyle \omega \in \Omega }$. Si dice in tal caso che ${\displaystyle \delta _{1}}$ e debolmente preferibile rispetto a ${\displaystyle \delta _{2}}$, o che la domina debolmente. Notare che l'uso di un preordinamento anziche di un vero e proprio ordinamento e giustificato dal fatto che possono esistere decisioni distinte con funzioni di perdita coincidenti.

Di solito si affianca a questa un'altra relazione, ossia ${\displaystyle \succ }$, dove ${\displaystyle \delta _{1}\succ \delta _{2}}$ se ${\displaystyle W_{\delta _{1}}\leq W_{\delta _{2}},W_{\delta _{1}}\neq W_{\delta _{2}}}$; si dice allora che ${\displaystyle \delta _{1}}$ e strettamente preferibile a ${\displaystyle \delta _{2}}$ o che lo domina strettamente. Tale definizione implica che la due funzioni di perdita ${\displaystyle W_{\delta _{1}}}$ e ${\displaystyle W_{\delta _{2}}}$ devono differire per almeno un punto ${\displaystyle \omega }$; una definizione alternativa e che ${\displaystyle \delta _{1}}$ domina strettamente ${\displaystyle \delta _{2}}$ se vale che ${\displaystyle \delta _{1}\succeq \delta _{2}}$ ma non che ${\displaystyle \delta _{2}\succeq \delta _{1}}$. E importante notare che questa relazione, non essendoci riflessivita, non e un preordinamento.

Alcuni problemi decisionali possono essere definiti con una forma canonica leggermente diversa, ${\displaystyle (\Omega _{\delta },\Delta ,W_{\delta },K)}$, qualora lo spazio degli stati di natura dipenda dalla decisione scelta.

L'analisi preottimale consiste nell'effettuare elaborazioni teoriche su un problema di decisione senza ricorrere a un criterio di ottimalita, sfruttando le proprieta delle relazioni di preferibilita.

• Piccinato, Ludovico. Teoria delle decisioni statistiche. Springer, 2009.

• Matematica applicata
• Ricerca operativa

• decisione, problema della, in Dizionario di filosofia, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2009.
• (EN) decision problem, su Enciclopedia Britannica, Encyclopaedia Britannica, Inc.
• (EN) Eric W. Weisstein, Decision Problem, su MathWorld, Wolfram Research.