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Introduction de la disjonction

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L'introduction de la disjonction ou addition (aussi appele introduction du ou)[1],[2],[3] est une regle de deduction de la plupart des logiques formelles. Comme son nom l'indique, elle permet d'introduire le connecteur logique de la disjonction dans une demonstration. Elle est l'inference selon laquelle si P est vrai, alors P ou Q doit etre vrai. Un exemple informel : a partir de Socrate est un homme en appliquant la regle d'introduction de la disjonction on peut deduire Socrate est un homme ou des cochons volent en formation au-dessus de la Manche. C'est une regle immediate, c'est-a-dire qu'elle est applique a partir d'une seule proposition. Elle se doit d'etre valide pour etre une regle d'inference, c'est-a-dire qu'elle ne peut deduire des propositions fausses a partir de propositions vraies, et elle l'est : si la premisse, Socrate est un homme dans notre exemple, est vraie, "Socrate est un homme ou Q" sera vraie aussi independamment de la valeur de Q par la definition du "ou". En effet une formule logique de la forme "A ou B" est vraie si au moins une des propositions A, B est vraie.

L'introduction de la disjonction n'existe pas dans certaines logiques, comme certaines logiques paracoherentes car en combinaison avec d'autres regles logique, elle conduit a une explosion (a savoir, tout devient demontrable). Ces logiques cherchant a eviter cette explosion pour tolerer certaines contradiction dans le raisonnement, et une des solutions consiste a introduire la disjonction d'autres manieres.

Notations formelles

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La regle d'introduction de la disjonction peut etre ecrite en notation sequente :

P ( P Q ) {\displaystyle P\vdash (P\lor Q)}

ou {\displaystyle \vdash } est un symbole metalogique qui signifie que P Q {\displaystyle P\lor Q} est une consequence syntaxique de P {\displaystyle P} dans un systeme logique ;

et exprimee en tautologie ou en theoreme de logique propositionnelle:

P - ( P Q ) {\displaystyle P\to (P\lor Q)}

ou P {\displaystyle P} et Q {\displaystyle Q} sont des propositions exprimees dans un systeme formel.

La regle est aussi parfois exprimee sous une forme similaire a celle-ci, ou on peut lire au-dessus de la ligne verticale la premisse a l'application de la regle et au-dessous un schema de formule qu'on peut inferer.

P P Q {\displaystyle {\frac {P}{\therefore P\lor Q}}}

Autrement dit, chaque fois qu'une formule P {\displaystyle P} apparait sur une ligne d'une demonstration, P Q {\displaystyle P\lor Q} (avec Q egalement une formule quelconque) peut etre place sur une ligne subsequente.

  1. | (en) Patrick Hurley, A Concise Introduction to Logic 4th edition, Wadsworth Publishing, , 346-51 p.
  2. | Moore et Parker
  3. | Copi et Cohen
v * m
Logique mathematique
Calcul des propositions
Regles d'inference
Regles de remplacement
Calcul des predicats