IEEE 754

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IEEE 754
Titel	IEEE Standard for Floating-Point Arithmetic
Erstveroffentlichung	1985
Letzte Ausgabe	2019

Die Norm IEEE 754 definiert Standarddarstellungen fur binare und dezimale Gleitkommazahlen in Computern und legt genaue Verfahren fur die Durchfuhrung mathematischer Operationen, insbesondere fur Rundungen, fest.

Bis in die fruhen 1970er Jahre gab es zahlreiche unterschiedliche Darstellungsformate fur Gleitkommazahlen, je nach Hersteller oder Baureihe des Prozessors. Die Darstellungsformate unterschieden sich beispielsweise durch den Wertebereich der darstellbaren Zahlen, die Genauigkeit, die Unterstutzung von winzigen Zahlen nahe 0, die Rundungsverfahren oder die Genauigkeit der internen Zwischenergebnisse. Diese Unterschiede fuhrten dazu, dass Computerprogramme je nach verwendetem Computer unterschiedliche Ergebnisse lieferten.

Intel plante um 1976 fur seine Mikroprozessoren eine eigene Floating Point Unit (FPU) und wollte die bestmogliche Losung fur die zu implementierende Arithmetik. Unter der Federfuhrung der IEEE begannen 1977 Treffen, um Gleitkommaarithmetik fur Mikroprozessoren zu normieren. Gleichzeitig mit der Entwicklung der Norm implementierte Intel die Normvorschlage weitgehend in dem Gleitkommaprozessor Intel 8087.

Um 1980 wurde die Anzahl der Vorschlage fur die Norm auf zwei reduziert: Der K-C-S-Vorschlag (nach seinen Autoren Kahan, Coonen und Stone) setzte sich letztlich gegen die Alternative von DEC (F-Format, D-Format und G-Format) durch. Ein bedeutender Meilenstein auf dem Weg zur Norm war die Diskussion uber die Behandlung des Unterlaufs, der bis dahin von den meisten Prozessoren vernachlassigt worden war.

Die erste Ausgabe der Norm wurde 1985 gemeinsam von ANSI und IEEE unter der Nummer IEEE 754-1985 verabschiedet.^[1] 1989 erschien die internationale Fassung unter der Nummer IEC-60559:1989.

Die Norm definiert zwei Grunddatenformate fur binare Gleitkommazahlen mit 32 Bit (single precision) bzw. 64 Bit (double precision) Speicherbedarf und zwei erweiterte Formate.

Unabhangig von IEEE wurden die Prinzipien dieser Darstellungsformate verwendet, um weitere Darstellungsformate zu definieren, die umgangssprachlich ebenfalls als IEEE-Zahlen bezeichnet werden, obwohl sie nicht von der Norm abgedeckt sind. Einige dieser Formate wurden in spateren Ausgaben ubernommen, andere wie das 80-Bit-Format des Intel 8087 blieben herstellerspezifisch.

Die Uberarbeitung IEEE 754-2008^[2] strich das Wort ,,Binary" aus dem Namen der Norm, so dass noch ,,IEEE Standard for Floating-Point Arithmetic" ubrig blieb.

Die Binarformate wurden von ,,single" und ,,double" in die systematischen ,,binary32" und ,,binary64" umbenannt und um die neuen Formate ,,binary16" und ,,binary128" erganzt.

Die neuen Dezimalformate ,,decimal32", ,,decimal64" und ,,decimal128" wurden aus der verwandten Norm IEEE 854-1987 Standard for radix-independent floating-point arithmetic ubernommen.

Die mathematischen Grundlagen und Modellierungen wurden expliziter und praziser ausformuliert.

Die Uberarbeitung IEEE 754-2019^[3] wurde gegenuber 2008 nur geringfugig uberarbeitet, sie enthalt hauptsachlich Klarstellungen, behebt erkannte Probleme und empfiehlt zusatzliche Rechenoperationen.

Der numerische Wert ${\displaystyle x}$ einer Gleitkommazahl ergibt sich aus der Formel ${\displaystyle s\cdot m\cdot b^{e}}$ mit den 4 Bestandteilen:

• Vorzeichen ${\displaystyle s}$ (entweder ${\displaystyle +1}$ oder ${\displaystyle -1}$)
• Mantisse ${\displaystyle m}$
• Basis ${\displaystyle b}$ (entweder 2 oder 10)
• Exponent ${\displaystyle e}$

Um eine Gleitkommazahl bitweise zu speichern, wird sie in 3 Bitfolgen zerlegt:

• ${\displaystyle S}$ (1 Bit) fur das Vorzeichen
• ${\displaystyle M}$ (${\displaystyle p}$ Bits) fur die Mantisse
• ${\displaystyle E}$ (${\displaystyle r}$ Bits) fur den Exponenten

Das Vorzeichen ${\displaystyle s}$ wird im Bit ${\displaystyle S}$ gespeichert, dabei markiert ${\displaystyle S=0}$ positive Zahlen und ${\displaystyle S=1}$ negative Zahlen.

Der Exponent ${\displaystyle e}$ wird als nichtnegative Binarzahl ${\displaystyle E}$ (${\displaystyle E}$ wird manchmal auch als Charakteristik oder biased exponent bezeichnet) gespeichert, indem man den festen Biaswert ${\displaystyle B}$ addiert: ${\displaystyle E=e+B}$. Der Biaswert (engl: Verzerrung) berechnet sich durch ${\displaystyle 2^{r-1}-1}$. Der Biaswert ${\displaystyle B}$ dient dazu, dass negative Exponenten durch eine vorzeichenlose Zahl (die Charakteristik ${\displaystyle E}$) gespeichert werden konnen, unter Verzicht auf alternative Kodierungen wie z. B. das Zweierkomplement (vergleiche auch Exzesscode).

Die Mantisse ${\displaystyle 1\leq m<2}$ ist ein Wert, der sich aus den ${\displaystyle p}$ Mantissenbits mit dem Wert ${\displaystyle M}$ als ${\displaystyle m=1+M/2^{p}}$ berechnet. Einfacher ausgedruckt denkt man sich an das Mantissenbitmuster ${\displaystyle M}$ links eine ,,1," angehangt: ${\displaystyle m=1{,}M}$.

• ${\displaystyle s=(-1)^{S}}$
• ${\displaystyle e=E-B}$
• ${\displaystyle m=1{,}M=1+M/2^{p}}$

Dieses Verfahren ist moglich, weil durch Normalisierung (s. u.) die Bedingung ${\displaystyle 1\leq m<2}$ fur alle darstellbaren Zahlen immer eingehalten werden kann. Da dann die Mantisse immer links mit ,,1," beginnt, braucht dieses Bit nicht mehr gespeichert zu werden. Damit gewinnt man ein zusatzliches Bit Genauigkeit.

Fur Sonderfalle sind zwei Exponentenwerte mit speziellen Bitmustern reserviert, der Maximalwert (${\displaystyle E=11\dots 111_{2}=2^{r}-1}$) und der Minimalwert (${\displaystyle E=00\dots 000_{2}=0}$). Mit dem maximalen Exponentenwert werden die Sonderfalle NaN und kodiert. Mit Null im Exponenten werden die Gleitkommazahl 0 und alle denormalisierten Werte kodiert.

Werte ausserhalb des normalen Wertebereichs (zu grosse bzw. zu kleine Zahlen) werden durch bzw. - dargestellt. Diese Erweiterung des Wertebereichs erlaubt auch im Falle eines arithmetischen Uberlaufs haufig ein sinnvolles Weiterrechnen. Neben der Zahl 0 existiert noch der Wert -0. Wahrend ${\displaystyle {\tfrac {1}{0}}}$ das Ergebnis liefert, ergibt ${\displaystyle {\tfrac {1}{-0}}}$ den Wert -. Bei Vergleichen wird zwischen 0 und -0 nicht unterschieden.

Die Werte NaN (fur engl. ,,not a number", ,,keine Zahl") werden als Darstellung fur undefinierte Werte verwendet. Sie treten z. B. auf als Ergebnisse von Operationen wie ${\displaystyle {\tfrac {0}{0}}}$ oder ${\displaystyle \infty -\infty }$ auf. NaN werden in Signal-NaN (signalling NaN, NaNs) fur Ausnahmebedingungen und stille NaN (quiet NaN, NaNq) unterteilt.

Als letzter Sonderfall fullen denormalisierte Zahlen (in IEEE 754r als subnormale Zahlen bezeichnet) den Bereich zwischen der betragsmassig kleinsten normalisierten Gleitkommazahl und Null. Sie werden als Festkommazahlen gespeichert und weisen nicht dieselbe Genauigkeit auf wie die normalisierten Zahlen. Konstruktionsbedingt haben die meisten dieser Werte den Kehrwert .

IEEE 754 definiert 4 Darstellungen fur binare Gleitkommazahlen, sie heissen binary16, binary32 (traditionell ,,single"), binary64 (traditionell ,,double") und binary128. Zusatzlich erlaubt die Norm auch benutzerdefinierte erweiterte Darstellungen, die nach den gleichen Prinzipien konstruiert sind wie die vordefinierten Darstellungen.

Vor allem die Anzahl der Exponentenbits legt Maximum und Minimum der darstellbaren Zahlen fest. Die Anzahl der Mantissenbits bestimmt die relative Genauigkeit dieser Zahlen (und nur in geringem Mass das Maximum und das Minimum).

Typ	Grosse (1+r+p)	Exponent (r)	Mantisse (p)	Werte des Exponenten (e)	Biaswert (B)
binary16	16 bit	5 bit	10 bit	-14 <= e <= 15	15
binary32	32 bit	8 bit	23 bit	-126 <= e <= 127	127
binary32 extended	>= 43 bit	>= 11 bit	>= 31 bit	emin <= -1022 emax >= 1023	nicht spezifiziert
binary64	64 bit	11 bit	52 bit	-1022 <= e <= 1023	1023
binary64 extended	>= 79 bit	>= 15 bit	>= 63 bit	emin <= -16382 emax >= 16383	nicht spezifiziert
binary128	128 bit	15 bit	112 bit	-16382 <= e <= 16383	16383

Fur die angegebenen Formate ergibt sich die folgende Beschrankung des jeweiligen Zahlenbereichs, die mit der Maschinengenauigkeit ${\displaystyle \epsilon }$ bemessen wird. Die betragsmassig kleinsten Zahlen sind hierbei nicht normalisiert. Der relative Abstand zweier Gleitkommazahlen ist grosser als ${\displaystyle \epsilon }$ und kleiner gleich ${\displaystyle 2\epsilon }$. Konkret ist der Abstand (und in diesem Fall auch der relative Abstand) der Gleitkommazahl ${\displaystyle 1}$ zur nachstgrosseren Gleitkommazahl gleich ${\displaystyle 2\epsilon }$. Dezimalstellen beschreibt die Anzahl der Stellen einer Dezimalzahl, die ohne Genauigkeitsverlust gespeichert werden konnen. Die Mantisse ist rechnerisch durch das implizite Bit um eins grosser als gespeichert.

Typ	${\displaystyle \epsilon }$	Dezimal- stellen	betragsmassig kleinste Zahl		grosste Zahl
			normalisiert	denormalisiert
binary32	2-(23+1) 6,0 * 10-8	07 ... 80	2-126 1,2 * 10-38	2-23 * 2-126 1,4 * 10-45	(2-2-23) * 2127 3,4 * 1038
binary32 extended, minimum	2-(31+1) 2,3 * 10-10	09 ... 10	2-1022 2,2 * 10-308	2-31 * 2-1022 1,0 * 10-317	(2-2-31) * 21023 1,8 * 10308
binary64	2-(52+1) 1,1 * 10-16	15 ... 16	2-1022 2,2 * 10-308	2-52 * 2-1022 4,9 * 10-324	(2-2-52) * 21023 1,8 * 10308
binary64 extended, minimum	2-(63+1) 5,4 * 10-20	19 ... 20	2-16382 3,4 * 10-4932	2-63 * 2-16382 3,7 * 10-4951	(2-2-63) * 216383 1,2 * 104932

Die Anordnung der Bits einer binary32 zeigt die nebenstehende Abbildung. Die bei einer Rechenanlage konkrete Anordnung der Bits im Speicher kann von diesem Bild abweichen und hangt von der jeweiligen Bytereihenfolge (little-/big-endian) und weiteren Rechnereigenheiten ab.

Die Anordnung mit Vorzeichen - Exponent - Mantisse in genau dieser Reihenfolge bringt (innerhalb eines Vorzeichenbereiches) die dargestellten Gleitkommawerte in dieselbe Reihenfolge wie die durch dasselbe Bitmuster darstellbaren Ganzzahlwerte. Damit konnen fur die Vergleiche von Gleitkommazahlen dieselben Operationen wie fur die Vergleiche von ganzen Zahlen verwendet werden. Kurz: die Gleitkommazahlen konnen lexikalisch sortiert werden.

Hierbei ist jedoch zu beachten, dass fur steigende negative Ganzzahlwerte der entsprechende Gleitkommawert gegen minus unendlich geht, die Sortierung also umgekehrt ist.

Die Interpretation hangt von dem Exponenten ab. Zur Erlauterung wird mit S der Wert des Vorzeichenbits (0 oder 1), mit E der Wert des Exponenten als nichtnegative ganze Zahl zwischen 0 und E_max = 11...111 = 2^r-1, mit M der Wert der Mantisse als nichtnegative Zahl und mit B der Biaswert bezeichnet. Die Zahlen r und p bezeichnen die Anzahl der Exponentenbits und Mantissenbits.

Charakteristik	Mantisse M	Bedeutung	Salopp	Bezeichnung
E = 0	M = 0	(-1)S x 0	+-0	Null (gehort zu denorm.)
E = 0	M > 0	(-1)S x M / 2p x 21-B	+-0,M x 21-B	denormalisierte Zahl
0 < E < 2r-1	M >= 0	(-1)S x (1+M / 2p) x 2E-B	+-1,M x 2E-B	normalisierte Zahl
E = 2r-1	M = 0	Unendlich	+-	Unendlich
E = 2r-1	M > 0	keine Zahl		keine Zahl (NaN)

Null reprasentiert die vorzeichenbehaftete Null. Auch Zahlen, die zu klein sind, um dargestellt zu werden (Unterlauf), werden auf Null gerundet. Ihr Vorzeichen bleibt dabei erhalten. Negative kleine Zahlen werden so zu -0,0 gerundet, positive Zahlen zu +0,0. Beim direkten Vergleich werden jedoch +0,0 und -0,0 als gleich angesehen.

Die Mantisse besteht aus den ersten n wesentlichen Ziffern der Binardarstellung der noch nicht normalisierten Zahl. Die erste wesentliche Ziffer ist die hochstwertige (d. h. am weitesten links stehende) Ziffer, die von 0 verschieden ist. Da eine von 0 verschiedene Ziffer im Binarsystem nur eine 1 sein kann, muss diese erste 1 nicht explizit abgespeichert werden; gemass der Norm IEEE 754 werden nur die folgenden Ziffern gespeichert, die erste Ziffer ist eine implizite Ziffer oder ein implizites Bit (engl. hidden bit). Dadurch wird gewissermassen 1 Bit Speicherplatz ,,gespart".

Ist eine Zahl zu klein, um in normalisierter Form mit dem kleinsten von Null verschiedenen Exponenten gespeichert zu werden, so wird sie als ,,denormalisierte Zahl" gespeichert.^[4] Ihre Interpretation ist nicht mehr +-1,mantisse*2^exponent, sondern +-0,mantisse*2^de. Dabei ist de der Wert des kleinsten ,,normalen" Exponenten. Damit lasst sich die Lucke zwischen der kleinsten normalisierten Zahl und Null fullen. Denormalisierte Zahlen haben jedoch eine geringere (relative) Genauigkeit als normalisierte Zahlen; die Anzahl der signifikanten Stellen in der Mantisse nimmt zur Null hin ab.

Ist das Ergebnis (oder Zwischenergebnis) einer Rechnung kleiner als die kleinste darstellbare Zahl der verwendeten endlichen Arithmetik, so wird es im Allgemeinen auf Null gerundet; das nennt man Unterlauf der Gleitkommaarithmetik, engl. underflow. Da dabei Information verloren geht, versucht man, Unterlauf nach Moglichkeit zu vermeiden. Die denormalisierten Zahlen in IEEE 754 bewirken einen allmahlichen Unterlauf (engl. gradual underflow), indem ,,um die 0 herum" 2²⁴ (fur single) bzw. 2⁵³ (fur double) Werte eingefugt werden, die alle denselben absoluten Abstand voneinander haben und ohne diese denormalisierten Werte nicht darstellbar waren, sondern zu Unterlauf fuhren mussten.

Prozessorseitig sind denormalisierte Zahlen aufgrund ihres proportional seltenen Auftretens mit wenig Prioritat implementiert und fuhren deswegen zu einer deutlichen Verlangsamung der Ausfuhrung, sobald sie als Operand oder als Ergebnis einer Berechnung auftauchen. Um Abhilfe (z. B. fur Computerspiele) zu schaffen, bietet Intel seit SSE2 die nicht IEEE-754-konforme Funktionalitat an, denormalisierte Zahlen vollstandig zu deaktivieren (MXCSR-Optionen ,,flush to zero" und ,,denormals are zero"). Gleitkommazahlen, die in diesen Bereich gelangen, werden auf 0 gerundet.^[5]

Der Gleitkommawert Unendlich reprasentiert Zahlen, deren Betrag zu gross ist, um dargestellt zu werden. Es wird zwischen positiver Unendlichkeit und negativer Unendlichkeit unterschieden. Die Berechnung von 1,0/0,0 ergibt nach Definition von IEEE-754 ,,positiv Unendlich".

Damit werden ungultige (oder nicht definierte) Ergebnisse dargestellt, z. B. wenn versucht wurde, die Quadratwurzel aus einer negativen Zahl zu berechnen. Einige ,,unbestimmte Ausdrucke" haben als Ergebnis ,,keine Zahl", zum Beispiel 0,0/0,0 oder ,,Unendlich" - ,,Unendlich". Ausserdem werden NaNs in verschiedenen Anwendungsbereichen benutzt, um ,,Kein Wert" oder ,,Unbekannter Wert" darzustellen. Insbesondere der Wert mit dem Bitmuster 111...111 wird oft fur eine ,,nicht initialisierte Gleitkommazahl" benutzt.

IEEE 754 fordert zwei Arten von Nichtzahlen: stille NaN (NaNq - quiet) und signalisierende NaN (NaNs - signalling). Beide stellen explizit keine Zahlen dar. Eine signalisierende NaN lost im Gegensatz zu einer stillen NaN eine Ausnahme (Trap) aus, wenn sie als Operand einer arithmetischen Operation auftritt.

IEEE 754 ermoglicht dem Anwender das Deaktivieren dieser Traps. In diesem Falle werden signalisierende NaN wie stille NaN behandelt.

Signalisierende NaN konnen genutzt werden, um uninitialisierten Rechnerspeicher zu fullen, so dass jedes Verwenden einer uninitialisierten Variable automatisch eine Ausnahme auslost.

Stille NaN ermoglichen den Umgang mit Rechnungen, die kein Ergebnis erzeugen konnen, etwa weil sie fur die angegebenen Operanden nicht definiert sind. Beispiele sind die Division Null durch Null oder der Logarithmus aus einer negativen Zahl.

Stille und signalisierende NaN unterscheiden sich im hochsten Mantissenbit. Bei stillen NaN ist dieses 1, bei signalisierenden NaN 0. Die ubrigen Mantissenbits konnen zusatzliche Informationen enthalten, z. B. die Ursache der NaN. Dies kann bei der Ausnahmebehandlung hilfreich sein. Allerdings schreibt der Standard nicht fest, welche Informationen in den ubrigen Mantissenbits enthalten sind. Die Auswertung dieser Bits ist daher plattformabhangig.

Das Vorzeichenbit hat bei NaN keine Bedeutung. Es ist nicht spezifiziert, welchen Wert das Vorzeichenbit bei zuruckgegebenen NaN besitzt.

Der Dezimalbruch 18,4 soll in die Darstellung binary32 umgewandelt werden.

1. Bestimmen des Exponenten: 18,4 liegt zwischen den Zweierpotenzen 16 und 32, daher ist der Exponent 4 und erfullt die Gleichung ${\displaystyle 18{,}4=1{,}mmmmmmmm\cdot 2^{4}}$.
2. Bestimmen des Bias-Wertes fur den Exponenten: ${\displaystyle E=e+127=131}$, in binar 1000 0011.
3. Normalisieren der Mantisse: 18,4 wird durch ${\displaystyle 2^{4}}$ geteilt und ergibt 1,15.
4. Umwandlung des Nachkommateils in Binar: 0,15 wird mit ${\displaystyle 2^{23}}$ malgenommen (1.258.291,2) und auf eine ganze Zahl gerundet.
5. Die ganze Zahl wird ins Binarsystem umgewandelt (001 0011 0011 0011 0011 0011) und in den Ziffern der Mantisse gespeichert.
6. Die Bitfolgen fur das Vorzeichen (0), den Exponenten (1000 0011) und die Mantisse (001 0011 0011 0011 0011 0011) werden verkettet: 0100 0001 1001 0011 0011 0011 0011 0011.

Die binary32-Gleitkommazahl mit der Bitfolge 0100 0001 1001 0011 0011 0011 0011 0011 soll in einen Dezimalbruch umgewandelt werden.

• Das Format binary32 zerlegt diese Bitfolge in die 3 Teile ${\displaystyle S=0}$, ${\displaystyle E=1000\,0011_{2}}$, ${\displaystyle M=001\,0011\,0011\,0011\,0011\,0011_{2}}$.
• Das Vorzeichenbit ist 0, daher ist die Zahl 0 oder positiv.
• Die Bits des Exponenten sind weder alle 0 noch alle 1, daher handelt es sich um eine normalisierte Zahl.
• Der gespeicherte Wert des Exponenten wird ins Dezimalsystem umgerechnet, es ergibt sich ${\displaystyle E=131}$.
• Aus dem gespeicherten Exponenten und dem Bias wird der tatsachliche Exponent berechnet: ${\displaystyle e=E-{\mathit {Bias}}=131-127=4}$.
• Da es sich um eine normalisierte Zahl handelt, wird die Mantisse links um die implizite 1 erganzt, es ergibt sich ${\displaystyle 1001\,0011\,0011\,0011\,0011\,0011_{2}}$.
• Die erganzte Mantisse wird als Ganzzahl interpretiert und ins Dezimalsystem umgerechnet, es ergibt sich ${\displaystyle 9\,646\,899}$.
• Die Mantisse wird durch ${\displaystyle 2^{23}}$ geteilt, es ergibt sich ${\displaystyle m=1{,}149\,999\,976\,158\,142\,089\,843\,75}$.
• Der Wert der Gleitkommazahl ist ${\displaystyle (-1)^{S}\cdot 2^{e}\cdot m}$, also ${\displaystyle 1\cdot 16\cdot 1{,}149\,999\,976\,158\,142\,089\,843\,75=18{,}399\,999\,618\,530\,273\,437\,5}$.

Die in diesem Bereich exakt darstellbaren Zahlen im Format binary32 sind:

• 18,399 997 711 181 640 625
• 18,399 999 618 530 273 437 5
• 18,400 001 525 878 906 25

Da die gerundete Dezimalzahl 18,4 naher an der mittleren Zahl liegt als an der nachstgrosseren, ist die kurzeste eindeutige Dezimaldarstellung fur die Zahl die 18,4.

IEEE 754 unterscheidet zunachst zwischen binaren Rundungen und binar-dezimalen Rundungen, bei denen geringere Qualitatsforderungen gelten.

Bei binaren Rundungen muss zur nachstgelegenen darstellbaren Zahl gerundet werden. Wenn diese nicht eindeutig definiert ist (genau in der Mitte zwischen zwei darstellbaren Zahlen), wird so gerundet, dass das niederwertigste Bit der Mantisse 0 wird. Statistisch wird dabei in 50 % der Falle auf-, in den anderen 50 % der Falle abgerundet, so dass die von Knuth beschriebene statistische Drift in langeren Rechnungen vermieden wird.

Eine zu IEEE 754 konforme Implementierung muss drei weitere vom Programmierer einstellbare Rundungen bereitstellen: Rundung gegen +Unendlich (immer aufrunden), Rundung gegen -Unendlich (immer abrunden) und Rundung gegen 0 (Ergebnis immer betragsmassig verkleinern).

Zu IEEE 754 konforme Implementierungen mussen Operationen fur Arithmetik, Berechnung der Quadratwurzel, Konversionen und Vergleiche bereitstellen. Eine weitere Gruppe von Operationen wird im Anhang empfohlen, jedoch nicht verbindlich vorgeschrieben.

IEEE 754 verlangt von einer (Hardware- oder Software-)Implementierung exakt gerundete Ergebnisse fur die Operationen Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division zweier Operanden sowie der Operation Quadratwurzel eines Operanden. Das heisst, das ermittelte Ergebnis muss gleich demjenigen sein, das bei einer exakten Ausfuhrung der entsprechenden Operation mit anschliessender Rundung entsteht.

Weiter ist die Berechnung des Restes nach einer Division mit ganzzahligem Ergebnis gefordert. Diese Restberechnung ist definiert durch ${\displaystyle r=x-y\cdot n}$, ${\displaystyle n}$ ganzzahlig, ${\displaystyle |n-{\tfrac {x}{y}}|<{\tfrac {1}{2}}}$ oder bei geradem ${\displaystyle n}$ auch ${\displaystyle |n-{\tfrac {x}{y}}|={\tfrac {1}{2}}}$. Dieser Rest muss ohne Rundung exakt ermittelt werden.

Konversionen werden zwischen allen unterstutzten Gleitkommaformaten gefordert. Bei einer Konversion in ein Gleitkommaformat mit kleinerer Genauigkeit muss wie schon unter Arithmetik beschrieben exakt gerundet werden.

Zu IEEE 754 konforme Implementierungen mussen Konversionen zwischen allen unterstutzten Gleitkommaformaten und allen unterstutzten ganzzahligen Formaten bereitstellen. Die ganzzahligen Formate werden in IEEE 754 jedoch nicht genauer definiert.

Zu jedem unterstutzten Gleitkommaformat muss eine Operation existieren, die diese Gleitkommazahl in die exakt gerundete ganze Zahl im selben Gleitkommaformat konvertiert.

Schliesslich mussen Konversionen zwischen dem binaren Gleitkommaformat und einem Dezimalformat existieren, die genau beschriebenen Mindestqualitatsforderungen genugen.

Gleitkommazahlen nach IEEE 754 mussen verglichen werden konnen. Die Norm definiert die notwendigen Vergleichsoperationen und fur alle moglichen Sonderfalle (vor allem NaN, Unendlich und 0) die geforderten Ergebnisse. Gegenuber den ,,schulmathematischen" Vergleichen (kleiner, gleich oder grosser) kommt als mogliches Ergebnis nach IEEE 754 unordered (,,nicht eingeordnet") hinzu, wenn einer der Vergleichsoperanden NaN ist. Zwei NaN gelten immer als verschieden, selbst wenn ihre Bitmuster ubereinstimmen.

Im Anhang der Norm werden zehn weitere Operationen empfohlen. Da sie in einer Implementierung im Grunde sowieso benotigt werden, lauft diese Empfehlung letztlich darauf hinaus, die Operationen an den Programmierer weiterzugeben. Diese Operationen sind (in C-Schreibweise): copysign(x,y), invertsign(x), scalb(y,n), logb(x), nextafter(x,y), finite(x), isnan(x), x y, unordered(x,y), class(x). Die Details der Implementierung vor allem wieder bei den Sonderfallen NaN usw. sind ebenfalls vorgeschlagen.

Treten bei der Berechnung Ausnahmen (Exceptions) auf, werden Status-Flags gesetzt. Im Standard wird vorgeschrieben, dass der Benutzer diese Flags lesen und schreiben kann. Die Flags sind ,,sticky": werden sie einmal gesetzt, bleiben sie so lange erhalten, bis sie explizit wieder zuruckgesetzt werden. Das Uberprufen der Flags ist beispielsweise die einzige Moglichkeit, 1/0 (=Unendlich) von einem Uberlauf zu unterscheiden.

Des Weiteren wird im Standard empfohlen, Trap Handler zu ermoglichen: Tritt eine Ausnahme auf, wird der Trap Handler aufgerufen, anstatt das Status-Flag zu setzen. Es liegt in der Verantwortung solcher Trap Handler, das entsprechende Status-Flag zu setzen oder zu loschen.

Ausnahmen werden im Standard in 5 Kategorien eingeteilt: Uberlauf, Unterlauf, Division durch Null, ungultige Operation und Ungenau. Fur jede Klasse steht ein Status-Flag zur Verfugung.

• IEEE 754: reprinted in SIGPLAN Notices, Band 22, Nr. 2, Feb. 1987, S. 9-25
• Jean-Michel Muller: Elementary functions - Algorithms and Implementation. 2. Auflage. Birkhauser, Lyon 2006, ISBN 0-8176-4372-9.

• IEEE 754-1985
• IEEE Std 754-2019 vom 22. Juli 2019
• IEEE Std 754-2008. (PDF) Archiviert vom Original am 6. November 2016; abgerufen am 26. Februar 2023 (englisch).
• Online-Umrechner zwischen Binar- und Dezimaldarstellung von IEEE 754-Gleitkommazahlen
• Zur Geschichte: An Interview with the Old Man of Floating-Point (Reminiscences elicited from William Kahan by Charles Severance)
• William Kahan: Lecture Notes on the Status of IEEE Standard 754 for Binary Floating-Point-Arithmetic, 1996
• David Goldberg: What Every Computer Scientist Should Know About Floating-Point Arithmetic

1. | "IEEE Standard for Binary Floating-Point Arithmetic," in ANSI/IEEE Std 754-1985, S. 1-20, 12. Okt. 1985, doi:10.1109/IEEESTD.1985.82928.
2. | "IEEE Standard for Floating-Point Arithmetic", in IEEE Std 754-2008, S. 1-70, 29. Aug. 2008, doi:10.1109/IEEESTD.2008.4610935.
3. | IEEE Standard for Floating-Point Arithmetic. In: IEEE Std 754-2019 (Revision of IEEE 754-2008). Juli 2019, S. 1-84, doi:10.1109/IEEESTD.2019.8766229 (ieee.org [abgerufen am 5. Februar 2020]).
4. | David Goldberg: What Every Computer Scientist Should Know About Floating-Point Arithmetic. In: ACM Computing Surveys. 23. Jahrgang, 1991, S. 5-48, doi:10.1145/103162.103163 (englisch, sun.com [abgerufen am 2. September 2010]).
5. | Shawn Casey: x87 and SSE Floating Point Assists in IA-32: Flush-To-Zero (FTZ) and Denormals-Are-Zero (DAZ). 16. Oktober 2008, abgerufen am 3. September 2010 (englisch).

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