Funktionalanalysis

Die Funktionalanalysis ist der Zweig der Mathematik, der sich mit der Untersuchung von unendlichdimensionalen topologischen Vektorraumen und Abbildungen auf solchen befasst. Hierbei werden Analysis, Topologie und Algebra verknupft. Ziel dieser Untersuchungen ist es, abstrakte Aussagen zu finden, die sich auf verschiedenartige konkrete Probleme anwenden lassen. Die Funktionalanalysis ist der geeignete Rahmen zur mathematischen Formulierung der Quantenmechanik^[1] und zur Untersuchung partieller Differentialgleichungen.^[2]

Von zentraler Bedeutung sind die Begriffe

• Funktional fur eine Abbildung von Vektoren (z. B. Funktionen) auf skalare Grossen und
• Operator fur eine Abbildung von Vektoren auf Vektoren. Der Begriff des Operators ist eigentlich viel allgemeiner. Sinnvollerweise betrachtet man sie jedoch auf algebraisch und topologisch strukturierten Raumen, wie z. B. topologischen, metrischen oder normierten Vektorraumen aller Art.

Beispiele fur Funktionale sind die Begriffsinhalte Folgengrenzwert, Norm, bestimmtes Integral oder Distribution. Beispiele fur Operatoren sind etwa Differentiation, unbestimmtes Integral, quantenmechanische Observable oder Shift-Operatoren fur Folgen.

Grundbegriffe der Analysis wie Stetigkeit, Ableitungen usw. werden in der Funktionalanalysis auf Funktionale und Operatoren erweitert. Gleichzeitig weitet man die Resultate der linearen Algebra (beispielsweise den Spektralsatz) auf topologisch lineare Raume (beispielsweise Hilbertraume) aus, was mit sehr bedeutsamen Ergebnissen verbunden ist.

Die historischen Wurzeln der Funktionalanalysis liegen im Studium der Fourier-Transformation und ahnlicher Transformationen und der Untersuchung von Differential- und Integralgleichungen. Der Wortbestandteil ,,funktional" geht auf die Variationsrechnung zuruck. Als Begrunder der modernen Funktionalanalysis gelten Stefan Banach, Frigyes Riesz und Maurice Rene Frechet. Weitere Beitrage stammen von z. B. Eduard Helly, Mark Grigorjewitsch Krein, John von Neumann, Alexander Grothendieck, Nicolas Bourbaki.^[3]

Grundlage der Funktionalanalysis sind Vektorraume uber den reellen oder komplexen Zahlen. Der Grundbegriff ist hier der topologische Vektorraum, der dadurch gekennzeichnet ist, dass die Vektorraumverknupfungen stetig sind, etwas konkreter werden auch lokalkonvexe topologische Vektorraume und Frechet-Raume untersucht. Wichtige Aussagen sind dabei der Satz von Hahn-Banach, der Satz von Baire und der Satz von Banach-Steinhaus. Insbesondere in der Losungstheorie partieller Differentialgleichungen spielen diese eine wichtige Rolle, daruber hinaus in der Fredholm-Theorie.

Der wichtigste Spezialfall lokalkonvexer topologischer Vektorraume sind normierte Vektorraume. Sind diese zusatzlich vollstandig, dann heissen sie Banachraume. Noch spezieller betrachtet man Hilbertraume, bei denen die Norm von einem Skalarprodukt erzeugt wird. Diese Raume sind von grundlegender Bedeutung fur die mathematische Formulierung der Quantenmechanik. Ein wichtiger Untersuchungsgegenstand sind stetige lineare Operatoren auf Banach- oder Hilbertraumen.

Hilbertraume konnen vollstandig klassifiziert werden: Fur jede Machtigkeit einer Orthonormalbasis existiert (bis auf Isomorphie) genau ein Hilbertraum zu einem Korper. Da endlich-dimensionale Hilbertraume von der linearen Algebra erfasst werden und jeder Morphismus zwischen Hilbertraumen in Morphismen von Hilbertraumen mit abzahlbarer Orthonormalbasis zerlegt werden kann, betrachtet man in der Funktionalanalysis hauptsachlich Hilbertraume mit abzahlbarer Orthonormalbasis und ihre Morphismen. Diese sind isomorph zum Folgenraum ${\displaystyle \ell ^{2}}$ aller Folgen mit der Eigenschaft, dass die Summe der Quadrate aller Folgenglieder endlich ist.

Banachraume sind dagegen viel komplexer. Es gibt zum Beispiel keine praktisch nutzbare allgemeine Definition einer Basis, so lassen sich Basen vom unter Basis (Vektorraum) beschriebenen Typ (auch Hamelbasis genannt) im unendlich-dimensionalen Fall nicht konstruktiv angeben und sind auch stets uberabzahlbar (siehe Satz von Baire). Verallgemeinerungen der Hilbertraum-Orthonormalbasen fuhren zum Begriff der Schauderbasis, aber nicht jeder Banachraum hat eine solche.

Fur jede reelle Zahl ${\displaystyle p\geq 1}$ gibt es den Banachraum ,,aller Lebesgue-messbaren Funktionen, deren ${\displaystyle p}$-te Potenz des Betrags ein endliches Integral hat" (siehe L^p-Raum), dieser ist genau fur ${\displaystyle p=2}$ ein Hilbertraum.

Beim Studium normierter Raume ist die Untersuchung des Dualraumes wichtig. Der Dualraum besteht aus allen stetigen linearen Funktionen vom normierten Raum in seinen Skalarkorper, also in die reellen oder komplexen Zahlen. Der Bidual, also der Dualraum des Dualraums, muss nicht isomorph zum ursprunglichen Raum sein, aber es gibt stets einen naturlichen Monomorphismus von einem Raum in seinen Bidual. Ist dieser spezielle Monomorphismus auch surjektiv, dann spricht man von einem reflexiven Banachraum.

Der Begriff der Ableitung lasst sich auf Funktionen zwischen Banachraumen zur sogenannten Frechet-Ableitung verallgemeinern, so dass die Ableitung in einem Punkt eine stetige lineare Abbildung ist.

Wahrend die Banachraume bzw. Hilbertraume Verallgemeinerungen der endlich-dimensionalen Vektorraume der linearen Algebra darstellen, verallgemeinern die stetigen, linearen Operatoren zwischen ihnen die Matrizen der linearen Algebra. Die Diagonalisierung von Matrizen, die eine Matrix als direkte Summe von Streckungen von sogenannten Eigenvektoren darzustellen versucht, erweitert sich zum Spektralsatz fur selbstadjungierte oder normale Operatoren auf Hilbertraumen, was zur mathematischen Formulierung der Quantenmechanik fuhrt. Die Eigenvektoren bilden die quantenmechanischen Zustande, die Operatoren die quantenmechanischen Observablen.

Da Produkte von Operatoren wieder Operatoren sind, erhalt man Algebren von Operatoren, die mit der Operatornorm Banachraume sind, so dass fur zwei Operatoren ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ auch die multiplikative Dreiecksungleichung ${\displaystyle \|A\circ B\|\leq \|A\|\|B\|}$ gilt. Dies fuhrt zum Begriff der Banachalgebra, deren zuganglichste Vertreter die C*-Algebren und Von-Neumann-Algebren sind.

Zur Untersuchung lokalkompakter Gruppen ${\displaystyle G}$ zieht man den Banachraum ${\displaystyle L^{1}(G)}$ der bezuglich des Haarmasses integrierbaren Funktionen heran, der mit der Faltung als Multiplikation zu einer Banachalgebra wird. Dies begrundet die Harmonische Analyse als funktionalanalytischen Zugang zur Theorie der lokalkompakten Gruppen; die Fourier-Transformation ergibt sich bei dieser Sichtweise als Spezialfall der in der Banachalgebren-Theorie untersuchten Gelfand-Transformation.

Die Funktionalanalysis bietet einen geeigneten Rahmen zur Losungstheorie partieller Differentialgleichungen. Solche Gleichungen haben haufig die Form ${\displaystyle Du\,=f}$, wobei die gesuchte Funktion ${\displaystyle u}$ und die rechte Seite ${\displaystyle f}$ Funktionen auf einem Gebiet ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ sind und ${\displaystyle D}$ ein Differentialausdruck ist. Dazu kommen sogenannte Randbedingungen, die das Verhalten der gesuchten Funktion ${\displaystyle u}$ auf dem Rand ${\displaystyle \partial \Omega }$ von ${\displaystyle \Omega }$ vorschreiben. Ein Beispiel fur einen solchen Differentialausdruck ist etwa der Laplace-Operator ${\displaystyle \textstyle D={\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{1}^{2}}}+\dotsb +{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{n}^{2}}}}$, weitere wichtige Beispiele ergeben sich aus der Wellengleichung oder aus der Warmeleitungsgleichung.

Der Differentialausdruck wird nun als Operator zwischen Raumen differenzierbarer Funktionen angesehen, im Beispiel des Laplace-Operators etwa als Operator zwischen dem Raum der zweimal stetig differenzierbaren Funktionen und dem Raum der stetigen Funktionen auf ${\displaystyle \Omega }$. Derartige Raume von im klassischen Sinne differenzierbaren Funktionenraumen erweisen sich allerdings fur eine erschopfende Losungstheorie als ungeeignet. Durch Ubergang zu einem allgemeineren Differenzierbarkeitsbegriff (schwache Ableitung, Distributionstheorie) kann man den Differentialausdruck als Operator zwischen Hilbertraumen, sogenannten Sobolew-Raumen, die aus geeigneten L²-Funktionen bestehen, ansehen. In diesem Rahmen lassen sich in wichtigen Fallen befriedigende Satze uber Existenz und Eindeutigkeit von Losungen beweisen. Dazu werden Fragen wie die Abhangigkeit von der rechten Seite ${\displaystyle f}$, sowie Fragen nach der Regularitat, das heisst Glattheitseigenschaften der Losung ${\displaystyle u}$ in Abhangigkeit von Glattheitseigenschaften der rechten Seite ${\displaystyle f}$, mit funktionalanalytischen Methoden untersucht. Dies lasst sich weiter auf allgemeinere Raumklassen, etwa Raume von Distributionen, verallgemeinern. Ist die rechte Seite ${\displaystyle f}$ gleich der Delta-Distribution und hat man fur diesen Fall eine Losung gefunden, eine sogenannte Fundamentallosung, so kann man in manchen Fallen Losungen fur beliebige rechte Seiten mittels Faltung konstruieren.

In der Praxis werden numerische Methoden zur naherungsweisen Bestimmung von Losungen solcher Differentialgleichungen herangezogen, etwa die Finite-Elemente-Methode, insbesondere dann, wenn keine Losung in geschlossener Form angegeben werden kann. Auch bei der Konstruktion solcher Naherungen und der Bestimmung der Approximationsgute spielen funktionalanalytische Methoden eine wesentliche Rolle.

Fur spezielle Fachliteratur zu Einzelthemen, siehe die Literaturangaben in Lineare Operatoren, Spektraltheorie usw.

• Dirk Werner: Funktionalanalysis (= Springer-Lehrbuch). 8., vollstandig uberarbeitete Auflage. Springer Spektrum, Berlin 2018, ISBN 978-3-662-55406-7, doi:10.1007/978-3-662-55407-4.
• Hans Wilhelm Alt: Linear Functional Analysis (= Universitext). Springer London, London 2016, ISBN 978-1-4471-7279-6, doi:10.1007/978-1-4471-7280-2 (englisch).
• Jurgen Voigt: A Course on Topological Vector Spaces (= Compact Textbooks in Mathematics). Springer International Publishing, Cham 2020, ISBN 978-3-03032944-0, doi:10.1007/978-3-030-32945-7 (englisch).

• V. Hutson, J. S. Pym, Michael J. Cloud: Applications of functional analysis and operator theory (= Mathematics in science and engineering. Band 200). 2. Auflage. Elsevier, Amsterdam; Boston 2005, ISBN 978-0-444-51790-6 (englisch).
• Martin Schechter: Principles of Functional Analysis (= Graduate studies in mathematics. Band 36). 2. Auflage. American Mathematical Society, Providence, RI 2002, ISBN 978-0-8218-2895-3 (englisch).

• Harro Heuser u. a.: Contributions to Functional Analysis. Springer Berlin Heidelberg, Berlin, Heidelberg 1966, ISBN 978-3-642-85999-1, doi:10.1007/978-3-642-85997-7 (englisch).
• Albrecht Pietsch: History of Banach Spaces and Linear Operators. Birkhauser Boston, Boston, MA 2007, ISBN 978-0-8176-4367-6, doi:10.1007/978-0-8176-4596-0 (englisch).

• Harro Heuser: Funktionalanalysis: Theorie und Anwendung (= G. Kothe, K.-D. Bierstedt, G. Trautmann [Hrsg.]: Mathematische Leitfaden). Vieweg+Teubner Verlag, Wiesbaden 1986, ISBN 978-3-519-12206-7, doi:10.1007/978-3-322-96755-8.
• Friedrich Hirzebruch, Winfried Scharlau: Einfuhrung in die Funktionalanalysis (= Hochschultaschenbuch). Unverand. Nachdr. d. 1. Aufl. v. 1971. Spektrum, Akad. Verl, Heidelberg Berlin Oxford 1996, ISBN 978-3-86025-429-5 (mpg.de [PDF]).
• A.N. Kolmogorow, S.W. Fomin: Reelle Funktionen und Funktionalanalysis (= Hochschulbucher fur Mathematik. Band 78). Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1975.
• Reinhold Meise, Dietmar Vogt: Einfuhrung in die Funktionalanalysis. Vieweg+Teubner Verlag, Wiesbaden 1992, ISBN 978-3-528-07262-9, doi:10.1007/978-3-322-80310-8.
• Friedrich Riesz, Bela Sz.-Nagy: Vorlesung uber Funktionalanalysis (= Hochschulbucher fur Mathematik. Band 27). 2. Auflage. Deutscher Verlag der Wissenschaften, 1968.
• S.L. Sobolew: Einige Anwendungen der Funktionalanalysis auf Gleichungen der mathematischen Physik. Akademie-Verlag, Berlin 1964.
• W.I. Sobolew, L.A. Ljusternik: Elemente der Funktionalanalysis (= Mathematische Lehrbucher und Monographien. Band 8). 3. Auflage. Akademie-Verlag, Berlin 1965.
• Angus Ellis Taylor, David C. Lay: Introduction to Functional Analysis. 2nd Auflage. Wiley, New York 1980, ISBN 978-0-471-84646-8.
• Kosaku Yosida: Functional Analysis (= Classics in Mathematics. Band 123). Springer Berlin Heidelberg, Berlin, Heidelberg 1995, ISBN 978-3-540-58654-8, doi:10.1007/978-3-642-61859-8.

1. | Francois David: The Formalisms of Quantum Mechanics (= Lecture Notes in Physics. Band 893). Springer International Publishing, Cham 2015, ISBN 978-3-319-10538-3, doi:10.1007/978-3-319-10539-0.
2. | Haim Brezis: Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations. Springer New York, New York, NY 2011, ISBN 978-0-387-70913-0, doi:10.1007/978-0-387-70914-7.
3. | Mathematics Is Made by Mathematicians. In: History of Banach Spaces and Linear Operators. Birkhauser Boston, Boston, MA 2007, ISBN 978-0-8176-4367-6, S. 589-672, doi:10.1007/978-0-8176-4596-0_8.

• Funktionalanalysis
• Teilgebiet der Mathematik

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