Extrapolation

Extrapolation ist in der Mathematik und Wirtschaft die Fortfuhrung einer Zeitreihe uber den letzten beobachteten Zeitpunkt oder Wert hinaus, vorwarts oder ruckwarts, also eine Schatzung anhand der beobachteten Entwicklungstrends.

In der Mathematik ist die Extrapolation ein ,,Verfahren zur Beschleunigung der Konvergenz einer gegebenen Folge gegen den gesuchten Grenzwert".^[1] Eine statistische Extrapolation bezeichnet man auch als Hochrechnung.

Eine andere Herangehensweise ist die Interpolation, bei der innerhalb des Bereichs gesicherter Werte (ggf. auch gesicherter Erkenntnisse) das Verhalten auch fur Falle beschrieben wird, die nicht untersucht wurden. Meist setzt die Extrapolation eine Interpolation voraus wie im Falle der Richardson-Extrapolation zur numerischen Differentiation. Hierbei wird durch einige Stutzstellen ein Interpolationspolynom gelegt und dann der Wert des Interpolationspolynoms bei dem zu errechnenden Wert bestimmt. Dies gilt als sinnvoll, wenn die einzelnen Berechnungen der Funktionswerte nahe dem Grenzwert immer aufwandiger werden und es somit von der Komplexitat her als nicht vertretbar erscheint, sehr nah an den Grenzwert heranzugehen. Um den Extrapolationsfehler klein zu halten, gilt es allerdings als notwendig, gewisse Kriterien fur die Wahl der Stutzstellen festzulegen. Dabei zeigt sich, dass der Quotient der aufeinanderfolgenden Abstande der Stutzstellen zum Grenzwert einer festen Zahl kleiner 1 ist.

Eine Anwendung dieser Vorgehensweise ist bspw. die Romberg-Integration, zur Berechnung des numerischen Werts eines Integrals.

Man kann Extrapolation auch zur Berechnung des Grenzwertes von Folgen und Reihen verwenden. Im Falle von divergenten Reihen nennt man entsprechende Extrapolationsverfahren auch Summationsverfahren. Die Trendextrapolation versucht, anhand vergangener Zeitreihen die zukunftige Entwicklung (Trend) vorauszusagen.

Es wird unterstellt, dass ein Fahrzeug eine gerade Strecke von 1000 Metern in 1 Minute zurucklegt. Wenn angenommen wird, dass das Fahrzeug seine Geschwindigkeit nicht verandert, kann man linear interpolieren und berechnen, an welchem Ort sich das Fahrzeug nach 0,5 Minuten befunden hat - namlich 500 Meter vom Anfangsort entfernt. Angenommen, das Fahrzeug andert seine Geschwindigkeit auch weiterhin nicht, kann man extrapolieren, dass es nach 1,5 Minuten 1500 Meter vom Anfangsort entfernt sein wird. Da aber verschiedene Annahmen erforderlich sind, um das weitere Verhalten uber den ursprunglichen Verlauf der Fahrt hinaus zu beschreiben, ist eine Extrapolation ggf. mit einer grossen Unsicherheit behaftet. Wenn das Fahrzeug beispielsweise nach 1000 m anhalt, stimmt das Ergebnis nicht mehr. Das gilt auch fur die Trendextrapolation, bei der angenommen wird, dass die in der Vergangenheit wirksamen trendbildenden Faktoren auch in der Zukunft in gleicher Weise vorhanden sein werden.

Weitere Beispiele fur Extrapolation sind u. a.:

• Ruckschluss aus der bisherigen Zeit fur die bereits bearbeiteten Elemente auf die Gesamtzeit fur alle Elemente.
• Ruckschluss aus dem bisherigen Wachstum eines Kindes auf die spatere Korpergrosse.
• Ruckschluss aus den an der Erdoberflache aufgeschlossenen Gesteinen und geologischen Strukturen auf die Lagerung derselben im Untergrund.
• Ruckschluss aus den heutigen physikalischen/astronomischen Verhaltnissen auf den Urknall.
• Ruckschluss aus den gewichteten vergangenen Werten auf zukunftige Werte (exponentielle Glattung).
• Ruckschluss nach dem Gesetz von Charles (1787) und Gay-Lussac (1808) auf den absoluten Nullpunkt von -273,15 degC (0 K) (siehe Thermische Zustandsgleichung Idealer Gase).
• Prognosen der Bevolkerungsentwicklung uber einen sehr langen Zeitraum (z. B. fur das Jahr 2100) hinweg, die allein auf Annahmen und ungesicherten Zahlen, die aus der aktuellen Entwicklung gefolgert werden, basieren.
• Prognosen zur Entwicklung des Weltklimas bzw. der globalen Erwarmung.

Die Science Fiction and Fantasy Writers of America definiert Extrapolation in der Science Fiction als ,,Fortspinnen" von wissenschaftlichem Faktenwissen, sodass eine Handlung um eine absehbare technische, soziale oder sonstige Entwicklung gebaut werden kann. Als moderne Beispiele nennt Science-Fiction-Autorin Joan Slonczewski die Werke von Michael Crichton (technische Extrapolation), von Ursula K. Le Guin (sozialwissenschaftliche Extrapolation) und sich selbst (okologische Extrapolation; Slonczewski ist Biologin). Die Verwendung von harten Daten ist auch ein essentielles Kriterium zur Unterscheidung von Science Fiction und Fantasy.^[2]

• Trendanalyse
• Folgentransformation

• C. Brezinski und M. Redivo Zaglia: Extrapolation Methods. Theory and Practice. North-Holland, 1991.

1. | Springer Verlag (Hrsg.), Lexikon der Mathematik, Band 2, 2016, S. 111
2. | Science in Science Fiction: Making it Work (Memento vom 22. Februar 2009 im Internet Archive), Joan Slonczewski, Science Fiction and Fantasy Writers of America, Inc, sfwa.org.

• Numerische Mathematik
• Regressionsanalyse
• Stichprobentheorie
• Wirtschafts- und Sozialstatistik