Definicni obor

Z Wikipedie, otevrene encyklopedie

Definicni obor zobrazeni ${\displaystyle T:X\to Y}$ z mnoziny ${\displaystyle X}$ do mnoziny ${\displaystyle Y}$ tvori prave ty prvky mnoziny ${\displaystyle X}$, pro nez je definovan obraz v mnozine ${\displaystyle Y}$. Obecne nemusi byt zobrazeni ${\displaystyle T}$ definovano na cele mnozine ${\displaystyle X}$, v tom pripade tvori jeho definicni obor podmnozinu mnoziny ${\displaystyle X}$. Definicni obor funkce ${\displaystyle f}$ je mnozina vsech hodnot, pro ktere je funkce ${\displaystyle f}$ definovana.

V matematicke notaci lze definicni obor pro zobrazeni ${\displaystyle T:X\to Y}$ zapsat nasledovne:

${\displaystyle D_{T}=\{x\in X|(\exists y\in Y)(T(x)=y)\}}$.

Definicni obor zobrazeni ${\displaystyle T}$ resp. funkce ${\displaystyle f}$ se znaci ${\displaystyle D_{T}=D(T)}$ resp. ${\displaystyle D_{f}=D(f)}$. Pro definicni obor se v zahranicni literature pouziva oznaceni domena, pro obor hodnot pak oznaceni kodomena.

Kazdou funkci (resp. obecneji zobrazeni) je mozno omezit na libovolnou podmnozinu jejiho definicniho oboru. Tedy mame-li funkci ${\displaystyle f:X\to Y}$ a plati-li ${\displaystyle A\subseteq X}$, muzeme omezit funkci ${\displaystyle f}$ na mnozinu ${\displaystyle A}$, coz znacime:

${\displaystyle f|_{A}:A\rightarrow Y}$.

Takto upravena funkce pak pusobi na prvky z mnoziny ${\displaystyle A}$ stejnym zpusobem jako predtim na vsechny prvky z mnoziny ${\displaystyle X}$. Jedinym rozdilem je, ze uz ma smysl hovorit o jejich hodnotach jen na prvcich z mnoziny ${\displaystyle A}$. Pro funkci ${\displaystyle f}$ se ${\displaystyle f_{A}}$ nazyva zuzeni (restrikce) ${\displaystyle f}$ na mnozinu ${\displaystyle A}$.

• Definicni obor mohou krome cisel tvorit take napr. funkce. Uvazujme mnozinu ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ realnych funkci realne promenne, tj. funkci ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ a operator derivace ${\displaystyle {\text{Der}}:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}}$, ktery vezme funkci a vrati jeji derivaci, tj. opet nejakou funkci, pak definicni obor operatoru derivace ${\displaystyle {\text{Der}}}$ tvori ty funkce z ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$, pro nez existuje jejich derivace. Tento priklad ukazuje zobrazeni, ktere neni definovano na cele ,,vstupni" mnozine, protoze ne vsechny funkce maji derivaci.
• Uvazujme topologicky prostor ${\displaystyle X}$ a na nem definovane zobrazeni ${\displaystyle T}$ zobrazujici do mnoziny ${\displaystyle Y}$. O zobrazeni ${\displaystyle T}$ rekneme, ze je huste definovane, prave kdyz je jeho definicni obor hustou podmnozinou topologickeho prostoru ${\displaystyle X}$, tj. ${\displaystyle {\overline {(D_{T})}}=X}$, kde pruh nad mnozinou znaci uzaver teto mnoziny.

• BARTSCH, Hans-Jochen. Matematicke vzorce. 4. vyd. Praha: Academia, 1994. 832 s. ISBN 80-200-1448-9.

• JARNIK, Vojtech. Diferencialni pocet I. 7. vyd. Praha: Academia, 1984. 392 s.

• Obor hodnot
• Zobrazeni (matematika)

Citovano z ,,https://cs.wikipedia.org/w/index.php?title=Definicni_obor&oldid=21869381"

Kategorie:

• Matematicke relace a zobrazeni
• Matematicke funkce

Skryte kategorie:

• Monitoring:Autoritni kontrola s 0 identifikatory
• Portal Matematika/Zapojene clanky