Dedekind - Stetigkeit und irrationale Zahlen

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Aanvullende gegevens:
R. Dedekind, Stetigkeit und irrationale Zahlen, vierde editie, Braunschweig: Friedr. Vieweg & Sohn (1912); 24 pp.
Oorspronkelijke tekst in ghotische letterdruk, voor de HTML-versie letterlijk getranscribeerd. Was opgedragen aan Dedekind's vader bij gelegenheid van zijn vijftig-jarig jubileum als hoogleraar in de Rechten te Braunschweig. Voetnoten waren met sterretjes aangegeven, hier als eindnoten genummerd opgenomen. De gecursiveerde latijnse letters die in de HTML-versie voor de wiskundige grootheden gebruikt worden, zijn in het origineel eveneens gecursiveerde latijnse letters; de niet-gecursiveerde variabelen betroffen Ghotische letters. Van de formules op pagina 14 is de opmaak niet behouden.

Stetigkeit

und

irrationale Zahlen

Von

Richard Dedekind
Professor an der technischen Hochschule in Braunschweig

Inhalt.

Seite
Vorwort		1
SS. 1.	Eigenschaften der rationalen Zahlen	5
SS. 2.	Vergleichung der rationalen Zahlen mit den Puncten einer geraden Linie	7
SS. 3.	Stetigkeit der geraden Linie	9
SS. 4.	Schopfung der irrationalen Zahlen	12
SS. 5.	Stetigkeit des Gebietes der irrationalen Zahlen	17
SS. 6.	Rechnungen mit reellen Zahlen	19
SS. 7.	Infinitesimal-Analysis	22

Stetigkeit und irrationale Zahlen

Die Betrachtungen, welche den Gegenstand dieser kleinen Schrift bilden, stammen aus dem Herbst des Jahres 1858. Ich befand mich damals als Professor am eidgenossischen Polytechnicum zu Zurich zum ersten Male in der Lage, die Elemente der Differentialrechnung vortragen zu mussen, und fuhlte dabei empfindlicher als jemals fruhrer den Mangel einer wirklich wissenschaftlichen Begrundung der Arithmetik. Bei dem Begriffe der Annaherung einer veranderlichen Grosse an einen festen Grenzwerth und namentlich bei dem Beweise des Sasses, dass jede Grosse, welche bestandig, aber nicht uber alle Grenzen wachst, sich gewiss einem Grenzwerth nahern muss, nahm ich meine Zuflucht zu geometrischen Evidenzen. Auch jesst halte ich solches Heranziehen geometrischer Anschauung bei dem ersten Unterrichte in der Differentialrechnung vom didaktischen Standpuncte aus fur ausserordentlich nusslich, ja unentbehrlich, wenn man nich gar zu viel Zeit verlieren will. Aber dass diese Art der Einfuhrung in die Differentialrechnung keinen Anspruch auf Wissenschaftlichkeit machen kann, wird wohl Niemand leugnen. Fur mich war damals dies Gefuhl der Unbefriedigung ein so uberwaltigendes, dass ich den festen Entschluss fasste, so lange nachzudenken, bis ich eine rein arithmetische und vollig strenge Begrundung der Principien der Infinitesimalanalysis gefunden haben wurde. Man sagt so haufig, die Differentialrechnung beschaftige sich mit den stetigen Grossen, und doch wird [pag. 2] nirgends eine Erklarung von dieser Stetigkeit gegeben, und auch die strengsten Darstellungen der Differentialrechnung grunden ihre Beweise nicht auf die Stetigkeit, sondern sie appelliren entweder mit mehr oder weniger Bewusstsein an geometrische, oder durch die Geometrie veranlasste Vorstellungen, oder aber sie stussen sich auf solche Sasse, welche selbst nie rein arithmetisch bewiesen sind. Zu diesen gehohrt z.B. der oben erwahnte Sass, und eine genauere Untersuchung uberzeugte mich, dass dieser oder auch jeder mit ihm aequivalente Sass gewissermassen als ein hinreichendes Fundament fur die Infinitesimalanalysis angesehen werden kann. Es kam nur noch darauf an, seinen eigentlichen Ursprung in den Elementen der Arithmetik zu entdecken und hiermit zugleich eine wirckliche Definition von dem Wesen der Stetigkeit zu gewinnen. Dies gelang mir am 24. November 1858, und wenige Tage darauf theilte ich das Ergebniss meines Nachdenkens meinem theuren Freunde Durege mit, was zu einer langen und lebhaften Unterhaltung fuhrte. Spater habe ich wohl dem einem oder anderen meiner Schuler diese Gedanken uber eine Wissenschaftliche Begrundung der Arithmetik auseinandergesesst, auch hier in Braunschweig in dem wissenschaftlichen Verein der Professoren einen Vortrag ube diese Gegenstand gehalten, aber zu einer eigentlichen Publication konnte ich mich nicht recht entschliessen, weil erstens die Darstellung nicht ganz leicht, und weil ausserdem die Sache so wenig fruchtbar ist. Indessen hatte ich doch schon halb und halb daran gedacht, dieses Thema zum Gegenstande dieser Gelegenheitsschrift zu wahlen, als vor wenigen Tagen, am 14. Marz, die Abhandlung: ,,Die Elemente der Functionenlehre'', von E. Heine (Crelle's Journal, Bd. 74) durch die Gute hochverehrten Verfassers in meine Hande gelangte und mich in meinem Entschlusse bestarkte. Dem Wesen nach stimme ich zwar vollstandig mit dem Inhalte dieser Schrift uberein, wie es ja nicht anders sein kann, aber ich will freimuthig gestehen, dass meine Darstellung mit der Form nach einfacher zu sein und den eigentlichen [pag. 3] Kernpunct praciser hervorzuheben scheint. Und wahrend ich an diesem Vorwort schreibe (20. Marz 1872), erhalte ich die interessante Abhandlung: ,,Ueber die Ausdehnung eines Sasses aus der Theorie der trigonometrischen Reihen'', von G. Cantor (Math. Annalen von Clebsch und Neumann, Bd. 5), fur welche ich dem scharfsinnigen Verfasser meinen besten Dank sage. Wie ich bei raschem Durchlesen finde, so stimmt das Axiom in SS. 2 derselben, abgesehen von der ausseren Form der Einkleidung, vollstandig mit dem uberein, was ich unten in SS. 3 als das Wesen der Stetigkeit bezeichne. Welchen Nussen aber die wenn auch nur begriffliche Unterscheidung von reellen Zahlgrossen noch hoherer Art gewahren wird, vermag ich gerade nach meiner Auffassung des in sich volkommenen reellen Zahlgebietes noch nicht zu erkennen. [pag. 4] [pag. 5]

SS. 1.

Eigenschaften der rationalen Zahlen.
Die Entwicklung der Arithmetik der rationalen Zahlen wird hier zwar vorausgesesst, doch halte ich es fur gut, einige Hauptmomente ohne Discussion hervorzuheben, nur um den Standpunct von vornherien zu bezeichnen, den ich im Folgenden einnehme. Ich sehe die ganze Arithmetik als eine nothwendige oder wenigstens naturliche Folge des einfachsten arithmetischen Actes, des Zahlen, an, und das Zahlen selbst ist nichts Anderes als die successive Schopfung der unendlichen Reihe der positiven ganzen Zahlen, in welcher jedes Individuum durch das unmittelbar vorhergehende definirt wird; der einfachste Act ist der Uebergang von einem schon erschaffenen Individuum zu dem darauf folgenden neu zu erschaffenden. Die Kette dieser Zahlen bildet an sich schon ein uberaus nussliches Hufsmittel fur den menschlichen Geist, und sie bietet einen erschopflichen Reichtum an merkwurdigen Gesessen dar, zu welchen man durch die Einfuhrung der vier arithmetischen Grundoperationen gelangt. Die Addition ist die Zusammenfassung einer beliebigen Wiederholung des obigen einfachsten Actes zu einem einzigen Acte, und aus ihr entspringt auf dieselbe Weise die Multiplication. Wahrend diese beide Operationen stets ausfuhrbar sind, zeigen die umgekehrten Operationen, die Subtraction und Division, nur eine beschrankte Zulassigkeit. Welches nun auch die nachste Veranlassung gewesen sein mag, welche Vergleichungen oder Analogieen mit Erfahrungen, Anschauungen dazu gefuhr [pag. 6] haben mogen, bleibe dahin gestellt; genug, gerade diese Beschranktheit in der Ausfuhrbarkeit der indirecten Operationen ist jedesmal die eigentliche Ursache eines neuen Schopfungsactes geworden; so sind die negativen und gebrochenen Zahlen durch den menschlichen Geist erschaffen, und es ist dem System aller rationalen Zahlen ein Instrument von unendlich viel grosserer Volkommenheit, welche ich an einem anderen Orte 1) als Merkmal eines Zahlkorpers bezeichnet habe, und welche darin besteht, dass die vier Grundoperationen mit je zwei Individuen in R stets wieder ein bestimmtes Individuum in R ist, wenn man den einzigen Fall der Division durch die Zahl Null ausnimmt.
Fur unseren nachsten Zweck ist aber noch wichtiger eine andere Eigenschaft des Systems R, welche man dahin aussprechen kann, dass das System R ein wohlgeordnetes, nach zwei entgegengesessten Seiten hin unendliches Gebiet von einer Dimension bildet. Was damit gemeint sein soll, ist durch die Wahl der Ausdrucke, welche geometrischen Vorstellungen entlehnt sind, hinreichend angedeutet; um so nothwendiger ist es, die entsprechenden rein arithmetischen Eigenthumlichkeiten hervorzuheben, damit es auch nicht einmal den Anschein behalt, als bedurfte die Arithmetik solcher ihr fremden Vorstellungen.
Soll ausgedruckt werden, dass die Zeichen a und b eine und dieselbe rationale Zahl bedeuten, so sesst man sowohl a = b wie b = a. Die Verschiedenheit zweier rationalen Zahlen a, b zeigt sich darin, dass die Differenz a = b entweder einen positiven oder einen negativen Wehrt hat. Im ersten Falle heisst a grosser als b, b kleiner als a, was auch durch die Zeichen a > b, b < a [pag. 7] angedeutet wird 2). Da im zweiten Falle b - a einen positiven Wehrt hat, so ist b > a, a < b. Hinsichtlich dieser doppelten Moglichkeit in der Art der Verschiedenheit gelten nun folgende Gesesse.
I. Ist a > b, und b > c, so ist a > c. Wir wollen jedesmal, wenn a, c zwei verschiedene (oder ungleiche) Zahlen sind, und wenn b grosser als die eine, kleiner als die andere ist, ohne Scheu vor dem Anklang an geometrische Vorstellungen dies kurz so ausdrucken: b liegt zwischen den beiden Zahlen a, c.
II. Sind a, c zwei verschiedene Zahlen, so giebt es immer unendlich viele verschiedene Zahlen b, welche zwischen a, c liegen.
III. Ist a ein bestimmte Zahl, so zerfallen alle Zahlen des Systems R in zwei Classen, A₁ und A₂, deren jede unendlich viele Individuen enthalt; die erste Classe A₁ umfasst alle Zahlen a₁, welche < a sind, die zweite Classe A₂ umfasst alle Zahlen a₂ welche > a sind; die Zahl a selbst kann nach Belieben der ersten oder der zweiten Classe zugetheilt werden, und sie ist dann entsprechend die grosste Zahl der ersten oder die kleinste Zahl der zweiten Classe. In jedem Falle ist die Zerlegung des Systems R in die beiden Classen A₁, A₂ von der Art, dass jede Zahl der ersten Classe A₁ kleiner als jede Zahl der zweiten Classe A₂ ist.

SS. 2.

Vergleichung der rationalen Zahlen mit den Puncten einer geraden Linie.
Die soeben hervorgehobenen Eigenschaften der rationalen Zahlen erinnern an die gegenseitigen Lagenbeziehungen zwischen den Puncten einer geraden Linie L. Werden die beiden in ihr existirenden entgegengesessten Richtungen durch ,,rechts'' und ,,links'' [pag. 8] unterschieden, und sind p, q zwei verschiedene Puncte, so liegt entweder p rechts von q, und gleichzeitig q links von p, oder umgekehrt, es liegt q rechts von p, und gleichzeitig p links von q. Ein dritter Fall ist unmoglich, wenn p, q wirklich verschiedene Puncte sind. Hinsichtlich dieser Lagenverschiedenheit bestehen folgende Gesesse.
I. Liegt p rechts von q, und q wieder rechts von r, so liegt auch p rechts von r; und man sagt, dass q zwischen den Puncten p und r liegt.
II. Sind p, r zwei verschiedene Puncte, so giebt es immer unendlich viele Puncte q, welche zwischen p und r liegen.
III. Ist p ein bestimmter Punct in L, so zerfallen alle Puncte in L in zwei Classen, P₁, P₂, deren jede unendlich viele Individuen enthalt; die erste Classe P₁ umfasst alle die Puncte p₁, welche links von p liegen, und die zweite Classe P₂ umfasst alle die Puncte p₂, welche rechts von p liegen; der Punct p selbst kann nach Belieben der ersten oder der zweiten Classe zugetheilt werden. In jedem Falle ist die Zerlegung der Geraden L in die beiden Classen P₁, P₂ von der Art, dass jeder Punct der ersten Classe P₁ links von jedem Puncte der zweiten Classe P₂ liegt.
Diese Analogie zwischen den rationalen Zahlen und den Puncten einer Geraden wird bekanntlich zu einem wirklichen Zusammenhange, wenn in der Geraden ein bestimmter Anfangspunct oder Nullpunct o und eine bestimmte Langeneinheit zur Ausmessung der Strecken gewahlt wird. Mit Hulfe der lessteren kann fur jede rationale Zahl a eine entsprechende Lange construirt werden, und tragt man dieselbe von dem Puncte o aus nach rechts oder links auf der Geraden ab, je nachdem a positiv oder negativ ist, so gewinnt man einen bestimmten Endpunct p, welcher als der der Zahl a entsprechende Punct bezeichnet werden kann; der rationalen Zahl Null entspricht der Punct o. Auf diese Weise entspricht jeder rationalen Zahl a, d.h. jedem Individuum in R, ein und nur ein Punct p, d.h. ein Individuum in L. [pag. 9] Entsprechen den beiden Zahlen a, b resp. die beiden Puncte p, q und ist a > b, so liegt p rechts von q. Den Gesessen I, II, III des vorigen Paragraphen entsprechen vollstandig die Gesesse I, II, III des jessigen.

SS. 3.

Stetigkeit der geraden Linie.
Von der grossten Wichtigheit ist nun aber die Thatsache, dass es in der Geraden L unendlich viele Puncte giebt, welche keiner rationalen Zahl entsprechen. Entspricht namlich der Punct p der rationalen Zahl a, so ist bekanntlich die Lange op commensurabel mit der bei der Construction benussten unabanderlichen Langeneinheit, d.h. es giebt eine dritte Lange, eine sogenanntes gemeinschafliches Mass, von welcher diese beiden Langen ganze Vielfache sind. Aber schon die alten Griechen haben gewusst und bewiesen dass es Langen giebt, welche mit einer gegebenen Langeneinheit incommensurabel sind, z.B. die Diagonale des Quadrats, dessen Seite die Langeneinheit ist. Tragt man eine solche Lange von dem Puncte o aus auf der Geraden ab, so erhalt man einen Endpunct, welcher keiner rationalen Zahl entspricht. Da sich ferner leicht beweisen lasst, dass es unendlich viele Langen giebt, welche mit der Langeneinheit incommensurabel sind, so konnen wir behaupten: Die Gerade L ist unendlich viel reicher an Punct-Individuen, als das Gebiet R der rationalen Zahlen an Zahl-Individuen.
Will man nun, was doch der Wunsch ist, alle Erscheinungen in der Geraden auch arithmetisch verfolgen, so reichen dazu die rationalen Zahlen nicht aus, und es wird daher unumganglich nothwendig, das Instrument R, welches durch die Schopfung der rationalen Zahlen construirt war, wesentlich zu verfeinern durch eine Schopfung von neuen Zahlen der Art, dass das Gebiet der Zahlen dieselbe Stetigkeit gewinnt, wie die gerade Linie. [pag. 10]
Die bisherigen Betrachtungen sind Allen so bekannt und gelaufig, dass Viele ihre Wiederholung fur sehr uberflussig erachten werden. Dennoch hielt ich diese Recapitulation fur nothwendig, um die Hauptfrage gehorig vorzubereiten. Die bisher ubliche Einfuhrung der irrationalen Zahlen knupft namlich geradezu an den Begriff der extensiven Grossen an -- welcher aber selbst nirgends streng definirt wird -- und erklart die Zahl als das Resultat der Messung einer solchen Grosse durch eine zweite gleichartige 3). Statt dessen fordere ich, dass die Arithmetik sich aus sich selbst heraus entwickeln soll. Dass solche Anknupfungen an nicht arithmetische Vorstellungen die nachste Veranlassung zur Erweiterung des Zahlbegriffes gegeben haben, mag in Allgemeinen zugegeben werden (doch ist dies bei der Einfuhrung der complexen Zahlen entschieden nicht der Fall gewesen); aber hierin liegt ganz gewiss kein Grund, diese fremdartigen Betrachtungen selbst in die Arithmetik, in die Wissenschaft von den Zahlen aufzunehmen. Sowie die negativen und gebrochenen rationalen Zahlen durch eine freie Schopfung hergestellt, und wie die Gesesse der Rechnungen mit diesen Zahlen auf die Gesesse der Rechnungen mit ganzen positiven Zahlen zuruckgefuhr werden mussen und konnen, ebenso man dahin zu streben, dass auch die irrationalen Zahlen durch die rationalen Zahlen allein vollstandig definirt werden. Nur das Wie? bleibt die Frage.
Die obige Vergeleichung des Gebietes R der rationalen Zahlen mit einer Geraden hat zu der Erkenntniss der Luckenhaftigkeit , Unvollstandigkeit oder Unstetigkeit des ersteren gefuhrt, wahrend wir der Geraden Vollstandigkeit, Luckenlosigkeit oder Stetigkeit zuschreiben. Worin besteht denn nun eigentlich diese Stetigkeit? In [pag. 11] der Beantwortung dieser Frage muss Alles enthalten sein, und nur durch sie wird man eine wissenschaftliche Grundlage fur die Untersuchung aller stetigen Gebiete gewinnen. Mit vagen Reden uber den ununterbrochenen Zusammenhang in den kleinsten Theilen ist naturlich nichts erreicht; es kommt darauf an, ein pracises Werkmal der Stetigkeit anzugeben, welches als Basis fur wirckliche Deductionen gebraucht werden kann. Lange Zeit habe ich vergeblich daruber nachgedacht, aber endlich fand ich, was ich suchte. Dieser Fund wird von verschiedenen Personen vielleicht verschieden beurtheilt werden, doch glaube ich, dass die Meisten seinen Inhalt sehr trivial finden werden. Er besteht im Folgenden. Im vorigen Paragraphen ist darauf aufmerksam gemacht, dass jeder Punct p der Geraden eine Zerlegung derselben in zwei Stucke von der Art hervorbringt, dass jeder Punct des einen Stuckes links von jedem Puncte des anderen liegt. Ich finde nun das Wesen der Stetigkeit in der Umkehrung, also in dem folgenden Princip:
,,Zerfallen alle Puncte der Geraden in zwei Classen von der Art, dass jeder Punct der ersten Classe links von jedem Puncte der zweiten Classe liegt, so existirt ein und nur ein Punct, welcher diese Eintheilung aller Puncte in zwei Classen, die Zerschneidung der Geraden in zwei Stucke hervorbringt.''
Wie schon gesagt, glaube ich nicht zu irren, wenn ich annehme, dass Jedermann die Wahrheit dieser Behauptung sofort zugeben wird; die meisten Leser werden sehr enttauscht sein, zu vernehmen, dass durch diese Trivialitat das Geheimniss der Stetigkeit enthullt sein soll. Dazu bemerke ich Folgendes. Es ist mir sehr lieb, wenn Jedermann das obige Princip so einleuchtend findet und so ubereinstimmend mit seinen Vorstellungen von einer Linie; denn ich bin ausser Stande, irgend einen Beweis fur seine Richtigkeit beizubringen, und Niemand ist dazu im Stande. Die Annahme dieser Eigenschaft der Linie ist nichts als ein Axiom, durch welches wir erst der Linie ihre Stetigkeit zuerkennen, durch [pag. 12] welches wir die Stetigkeit in die Linie hineindenken. Hat uberhaupt der Raum eine reale Existenz, so braucht er doch nicht nothwendig stetig zu sein; unzahlige seiner Eigenschaften wurden dieselben bleiben, wenn er auch unstetig ware. Und wussten wir gewiss, dass der Raum unstetig ware, so konnte uns doch wieder nichts hindern, falls es uns beliebte, ihn durch Ausfullung seiner Lucken in Gedanken zu einem stetigen zu machen; diese Ausfullung wurde aber in einer Schopfung von neuen Punct-Individuen bestehen und dem obigen Princip gemass auszufuhren sein.

SS. 4.

Schopfung der irrationalen Zahlen.
Durch die lessten Worte ist schon hinreichend angedeutet, auf welche Art das unstetige Gebiet R der rationalen Zahlen zu einem stetigen vervollstandigt werden muss. In SS. 1 ist hervorgehoben (III) dass jede rationale Zahl a eine Zerlegung des Systems R in zwei Classen A₁, A₂ von der Art hervorbringt, dass jede Zahl a₁ der ersten Classe A₁ kleiner ist, als jede Zahl a₂ der zweiten Classe A₂; die Zahl a ist entweder die grosste Zahl der Classe A₁, oder die kleinste Zahl der Classe A₂. Ist nun irgend eine Eintheilung des Systems R in zwei Classen A₁, A₂ gegeben, welche nur die characteristische Eigenschaft besisst, dass jede Zahl a₁ in A₁ kleiner ist, als jede Zhal in a₂ in A₂, so wollen wir der Kurze halber eine solche Eintheilung einen Schnitt nennen und mit (A₁, A₂) bezeichnen. Wir konnen dann sagen, dass jede rationale Zahl a einen Schnitt oder eigentlich zwei Schnitte hervorbringt, welche wir aber nicht als wesentlich verschieden ansehen wollen; dieser Schnitt hat ausserdem die Eigenschaft, dass entweder unter den Zahlen der erste Classe eine grosste, oder unter den Zahlen der zweiten Classe eine kleinste existirt. Und umgekehrt, besisst ein Schnitt auch diese Eigenschaft, so wird er durch diese grsste oder kleinste rationale Zahl hervorgebracht. [pag.13]
Aber man uberzeugt sich leicht, dass auch unendlich viele Schnitte existiren, welche nicht durch rationale Zahlen hervorgebracht werden. Das nachstliegende Beispiel ist folgendes.
Es sei D eine positive ganze Zahl, aber nicht das Quadrat einer ganzen Zahl, so giebt es einen positive ganze Zahl von der Art, dass
² < D < ( + 1)² wird.
Nimmt man in die zweite Classe A₂ jede positive rationale Zahl a₂ auf, deren Quadrat > D ist, in die erste Classe A₁ aber alle anderen rationalen Zahlen a₁, so bildet diese Eintheilung einen Schnitt (A₁, A₂), d.h. jede Zahl a₁ ist kleiner als jede Zahl a₂. Ist namlich a₁ = 0 oder negativ, so ist a₁ schon aus diesem Grund kleiner als jede Zahl a₂, weil diese zufolge der Definition positiv ist; ist aber a₁ positiv, so ist iht Quadrat < D, und folglich ist a₁ kleiner als jede positive Zahl a₂, deren Quadrat > D ist.
Dieser Schnitt wird aber durch keine rationale Zahl hervorgebracht. Um dies zu beweisen, muss vor Allem gezeigt werden, dass es keine rationale Zahl giebt, deren Quadrat = D ist. Obgelich dies aus den ersten Elementen der Zahlentheorie bekannt ist, so mag doch hier den folgenden indirecte Beweis Plass finden. Giebt es eine rationale Zahl, deren Quadrat = D ist, so giebt es auch zwei positive ganze Zahlen, t, u, welche der Gleichung
t² - Du² = 0 genuugen, und man darf annehmen, dass u die kleinste positive ganze Zahl ist, welche die Eigenschaft besisst, dass ihr Quadrat durch multiplication mit D in das Quadrat einer ganzen Zahl t verwandelt wird. Da nun offenbar
u < t < ( + 1)u ist, so wird die Zahl
u' = t - u

[pag. 14] eine positive ganze Zahl, und zwar kleiner als u. Sesst man ferner
t' = Du - t, so wird t' ebenfalls eine positive ganze Zahl, und er ergiebt sich
t'² - Du'² = (² - D)(t² - Du²) = 0, was mit der Annahme uber u im Widerspruch steht.
Mithin ist das Quadrat einer jeden rationalen Zahl x enweder < D oder > D. Hieraus folgt nun leicht, dass es weder in der Classe A₁, noch in der Classe A₂ eine kleinste Zahl giebt. Sesst man namlich
y = [x(x² + 3D)]/[3x² + D], so ist y - x = [2x(D - x²]/[3x² + D] und y² - D = (x² - D)³/(3x² + D)². Nimmt man hierin fur x eine positive Zahl aus der Classe A₁, so ist x² < D, und folglich wird y > x, und y² < D, also gehort y ebenfalls der Classe A₁ an. Sesst man aber fur x eine Zahl aus der Classe A₂, so ist x² > D, und folglich wird y < x, y > 0, und y² > D, also gehort y ebenfalls der Classe A₂ an. Dieser Schnitt wird daher durch keine rationale Zahl hervorgebracht.
In dieser Eigenschaft, dass nicht alle Schnitte durch rationale Zahlen hervorgebracht werden, besteht die Unvollstandigkeit oder Unstetigkeit des Gebietes R aller rationalen Zahlen.
Jedesmal nun, wenn win Schnitt (A₁, A₂) vorliegt, welcher durch keine rationale Zahl hervorgebracht wird, so erschaffen wir eine neue, eine irrationale Zahl , welche wir als durch diesen Schnitt (A₁, A₂) vollstandig definirt ansehen; wir werden sagen, dass die Zahl diesem Schnitt entspricht, oder dass sie diesen Schnitt hervorbringt. Es entspricht also von jesst ab jedem bestimmten Schnitt eine bestimmte rationale oder irrationale Zahl und wir sehen zwei Zahlen stets und nur dann [pag. 15] als verschieden oder ungleich an, wenn sie wesentlich verschiedenen Schnitten entsprecheb.
Um nun eine Grundlage fur die Anordnung aller reellen, d.h. aller rationalen und irrationalen Zahlen zu gewinnen, mussen wir zunachst die Beziehungen zwischen irgend zwei Schnitte (A₁, A₂) und (B₁, B₂) untersuchen, welche durch irgend zwei Zahlen und ss hervorgebracht werden. Offenbar ist ein Schnitt (A₁, A₂) schon vollstandig gegeven, wenn eine der beiden Classen, z.B. die erste A₁, bekannt is, weil die zweite A₂ aus allen nicht in A₁ enthalteten rationalen Zahlen besteht, und die charakteristische Eigenschaft einer solchen ersten Classe A₁ liegt darin, dass sie, wenn die Zahl a₁ in ihr enthalten ist, auch alle kleineren Zahlen als a₁ enthat. Vergleicht man nun zwei solche erste Classen A₁, B₁ mit einander, so kann es 1) sein, dass sie vollstandig identisch sind, d.h., dass jede in A₁ enthaltene Zahl a₁ auch in B₁ , und dass jede in B₁ enthaltene Zahl b₁ auch in A₁ enthalten ist. In diesem Falle ist dann nothwendig auch A₂ identisch mit B₂, die beiden Schnitte sind vollstandig identisch, was wir in Zeichnen durch = ss oder ss = andeuten.
Sind aber die beiden Classen A₁, B₁ nich identisch, so giebt es in der einen, z.B. in A₁, eine Zahl a'₁ = b'₂, welche nicht in der anderen B₁ enthalten ist, und welche sich folglich in B₂ vorfindet; mithin sind gewiss alle in B₁ enthaltenen Zahlen b₁ kleiner als diese Zahl a'₁ = b'₂, und folglich sind alle Zahlen b₁ auch in A₁ enthalten.
Ist nun 2) diese Zahl a'₁ die einzige in A₁, welche nicht in B₁ enthalten ist, so ist jede andere in A₁ enthaltene Zahl a₁ in B₁ enthalten, und folglich kleiner als a'₁, d.h. a'₁ ist die grosste unter allen Zahlen a₁, mithin wird der Schnitt (A₁, A₂) durch die rationale Zahl = a'₁ = b'₂ hervorgebracht. Von dem anderen Schnitte (B₁, B₂) wissen wir schon, dass alle Zahlen b₁ in B₁ auch in A₁ enthalten und kleiner als die Zahl a'₁ = b'₂ sind, welche in B₂ enthalten ist; jede andere in B₂ enthaltene [pag. 16] Zahl b₂ muss aber grosser als b'₂ sein, weil sie sonst auch kleiner als a'₁, also in A₁ und folglich auch in B₁ enthalten ware; mithin ist b'₂ die kleinste unter allen in B₂ enthaltenen Zahlen, und folglich wird auch der Schnitt (B₁, B₂) durch dieselbe rationale Zahl ss = b'₂ = a'₁ = hervorgebracht. Die beiden Schnitte sind daher nur unwesentlich verschieden.
Giebt es aber 3) in A₁ wenigstens zwei verschiedene Zahlen a'₁ = b'₂ und a''₁ = b''₂, welche nicht in B₁ enthalten sind, so giebt es deren auch unendlich viele, weil alle die unendlich viele zwischen a'₁ und a''₁ liegenden Zahlen (SS. 1. II.) offenbar in A₁, aber nicht in B₁ enthalten sind. In diesem Falle nennen wir die diesen beiden wesentlich verschiedenen Schnitten (A₁, A₂) und (B₁, B₂) ensprechenden Zahlen und ss ebenfalls verschieden von einander, und zwar sagen wir, dass grosser als ss, dass ss kleiner als ist, was wir in Zeichen sowohl durch > ss, als durch ss < ausdrucken. Hierbei ist hervorzuheben, dass diese Definition vollstandig mit der fruheren zusammenfallt, wenn beide Zahlen , ss rational sind.
Die nun noch ubrigen moglichen Falle sind diese. Giebt es 4) in B₁ eine und nur eine Zahl b'₁ = a'₂, welche nicht in A₁ enthalten ist, so sind die beiden Schnitte (A₁, A₂) und (B₁, B₂) nur unwesentlich verschieden und sie werden durch eine und dieselbe rationale Zahl = a'₂ = b'₁ = ss hervorgebracht. Giebt es aber 5) in B₁ mindestens zwei verschiedene Zahlen, welche nicht in A₁ enthalten sind, so ist ss > , < ss.
Da hiermit alle Falle erschopft sind, so ergiebt sich, dass von zwei verschiedenen Zahlen nothwendig die eine die grossere, die andere die kleinere sein muss, was zwei Moglichkeiten enthalt. Ein dritter Fall ist unmoglich. Dies lag zwar schon in der Wahl des Comparativs (grosser, kleiner) zur Bezeichnung der Beziehung zwischen , ss; aber diese Wahl ist erst jesst nachtraglich gerechtfertigt. Gerade bei solchen Untersuchungen hat man sich auf das Sorgfaltige zu huten, dass man selbst bei dem besten Willen, [pag. 17] ehrlich zu zein, durch eine voreilige Wahl von Ausdrucken, welche anderen schon entwickelten Vorstellungen entlehnt sind, sich nicht verleiten lasse, unerlaubte Uebertragungen aus dem einen Gebiete in das andere vorzunehmen.
Betrachtet man nun noch einmal genau den Fall > ss, so ergiebt sich, dass die kleinere Zahl ss, wenn sie rational ist, gewiss der Classe A₁ angehohrt; da es namlich in A₁ eine Zahl a'₁ = b'₂ giebt, welche der Classe B₂ angehoht, so ist die Zahl ss, mag sie die grosste Zahl in B₁ oder die kleinste Zahl B₂ sein, gewiss < a'₁ und folglich in A₁ enthalten. Ebenso ergiebt sich aus > ss, dass die grossere Zahl , wenn sie rational ist, gewiss der Classe B₂ angehouml;rt, weil > a'₁ ist. Vereinigt man beide Betrachtungen, so erhalt man folgendes Resultat: Wird ein Schnitt (A₁, A₂) durch die Zahl hervorgebracht, so gehort irgend eine rationale Zahl zu der Classe A₁, oder zu der Classe A₂, je nachdem sie kleiner oder grosser ist als ; ist die Zahl selbst rational, so kann sie der einen oder der anderen Classe angehoren.
Hieraus ergiebt sich endlich noch Folgendes. Ist > ss, giebt es also unendlich viele Zahlen in A₁, welche nicht in B₁ enthalten sind, so giebt es auch unendlich viele solche Zahlen, welche zugleich von und von ss verschieden sind; jede solche rationale Zahl c ist < , weil sie in A₁ enthalten ist, und sie ist zugleich > ss, weil sie in B₂ enthalten ist.

SS. 5.

Stetigkeit des Gebietes der reellen Zahlen.
Zufolge der eben festgesessten Unterscheidungen bildet nun das System R aller reellen Zahlen ein wohlgeordnetes Gebiet von einer Dimension; hiermit soll weiter nichts gesagt sein, als dass folgende Gesesse herrschen.
I. Ist > ss, und ss > , so ist auch > . Wir wollen sagen, dass die Zahl ss zwischen den Zahlen , liegt. [pag. 18]
II. Sind , zwei verschiedene Zahlen, so giebt es immer unendlich viele verschiedene Zahlen ss, welche zwischen , liegen.
Ist eine bestimmte Zahl, so zerfallen alle Zahlen des Systems R in zwei Classen A₁ und A₂, deren jede unendlich viele Individuen enthalt; die erste Classe A₁ umfasst alle die Zahlen ₁ welche < sind, die zweite Classe A₂ umfasst alle die Zahlen ₂, welche > sind; die Zahl selbst kann nach Belieben der ersten oder der zweiten Classe zugetheilt werden, und sie ist dann entsprechend die grosste Zahl der ersten oder die kleinste Zahl der zweiten Classe. In jedem Falle ist die Zerlegung des Systems R in die beiden Classen A₁, A₂ von der Art, dass jede Zahl der ersten Classe A₁ kleiner als jede Zahl der zweiten Classe A₂ ist, und wir sagen, dass diese Zerlegung durch die Zahl hervorgebracht wird.
Der kurze halber, und um den Leser nich zu ermuden, unterdrucke ich die Beweise dieser Sasse, welche unmittelbar aus den Definitionen des vorhergehenden Paragraphen folgen.
Ausser diesen Eigenschaften besisst aber das Gebiet R auch Stetigkeit, d.h. es gilt folgender Sass:
IV. Zerfallt das System R aller reellen Zahlen in zwei Classen A₁, A₂ von der Art, dass jede Zahl ₁ der Classe A₁ kleiner ist als jede Zahl ₂ der Classe A₂, so existirt eine und nur eine Zahl , durch welche diese Zerlegung hervorgebracht wird.
Beweis. Durch die Zerlegung oder den Schnitt von R in A₁ und A₂ ist zugleich ein Schnitt (A₁, A₂) des Systems R aller rationalen Zahlen gegeben, welcher dadurch definirt wird, dass A₁ alle rationalen Zahlen der Classe A₁ und A₂ alle ubrigen rationalen Zahlen, d.h. alle rationalen Zahlen der Classe A₂ enthalt. Es sei die vollig bestimmte Zahl, welche diesen Schnitt (A₁, A₂) hervorbringt. Ist nun ss irgend eine von verschiedenen Zahl, so giebt es immer unendlich viele rationale Zahlen c, welche zwischen und ss liegen. Ist ss < , so ist c < ; mithin gehort c der [pag. 19] Classe A₁ und folglich auch der Classe A₁ an, und da zugleich ss < c ist, so gehort auch ss derselben Classe A₁ an, weil jede Zahl in A₂ grosser ist als jede Zahl c in A₁. Ist aber ss > , so ist c > ; mithin gehort c der Classe A₂ und folglich auch der Classe A₂ an, und da zugleich ss > c ist, so gehort auch ss derselben Classe A₂ an, weil jede Zahl in A₁ kleiner ist als jede Zahl c in A₂. Mithin gehort jede von verschiedene Zahl ss der Classe A₁ oder der Classe A₂ an, je nachdem ss < oder ss > ist; folglich ist selbst entweder die grosste Zahl in A₂, d.h. ist eine und offenbar die einzige Zahl, durch welche die Zerlegung von R in die Classen A₁, A₂ hervorgebracht wird, was zu beweisen war.

SS. 6.

Rechnungen mit reellen Zahlen.
Um irgend eine Rechnung mit zwei reellen Zahlen , ss auf die Rechnungen mit rationalen Zahlen zuruckzufuhren, kommt es nur darauf an, aus den Schnitten (A₁, A₂) und (B₁, B₂), welche durch die Zahlen und ss im Systeme R hervorgebracht werden, den Schnitt (C₁, C₂) zu definiren, welcher dem Rechnungsresultate entsprechen soll. Ich beschranke mich hier auf die Durchfuhrung des einfachsten Beispieles, der Addition.
Ist c irgend eine rationale Zahl, so nehme man sie in die Classe C₁ auf, enn es eine Zahl a₁ in A₁ und eine Zahl b₁ in B₁ von der Art giebt, dass ihre Summe a₁ + b₁ > c wird; alle andere rationalen Zahlen c nehme man in die Classe C₂ auf. Diese Eintheilung aller rationalen Zahlen in die beiden Classen C₁, C₂ bildet offenbar einen Schnitt, weil jede Zahl c₁ in C₁ kleiner ist als jede Zahl c₂ in C₂. Sind nun beide Zahlen , ss rational, so ist jede in C₁ enthaltene Zahl c₁ < + ss, weil a₁ < , b₁ < ss, also auch a₁ + b₁ < + ss ist; ware [pag. 20] ferner eine in C₂ enthaltene Zahl c₂ < + ss, also + ss = c₂ + p, wo p eine positive rationale Zahl bedeutet, so ware
c₂ = ( - 1/2p) + (ss - 1/2p), was im Widerspruch mit der Definition der Zahl c₂ steht, weil - 1/2p eine Zahl in A₁, und ss - 1/2p eine Zahl in B₁ ist; folglich ist jede in C₂ enthaltene Zahl c₂ > + ss. Mithin wird in diesem Falle der Schnitt (C₁, C₂) durch die Summe + ss hervorgebracht. Man verstosst daher nicht gegen die in der Arithmetik der rationalen Zahlen geltende Definition, wenn man in allen Fallen unter der Summe + ss von zwei beliebigen reellen Zahlen , ss diejenige Zahl versteht, durch welche der Schnitt (C₁, C₂) hervorgebracht wird. Ist ferner nur eine der beiden Zahlen , ss, z.B. , rational, so uberzeugt man sich leicht, dass es keinen Einfluss auf die Summe = + ss hat, ob man die Zahl in die Classe A₁ oder in die Classe A₂ aufnimmt.
Ebsenso wie die Addition lassen sich auch die ubrigen Operationen der sogenannten Elementar-Arithmetik definiren, namlich die Bildung der Differenzen, Producte, Quotienten, Potenzen, Wurzeln, Logarithmen, und man gelangt auf diese Weise zu wircklichen Beweisen von Sassen (wie z.B. 2.3 = 6), welche meines Wissens bisher nie bewiesen sind. Die Weitlaufigkeiten, welche bei den Definitionen der complicirteren Operationen zu befurchten sind, liegen theils in der Natur der Sachem zum grossten Theil aber, lassen sie sich vermeiden. Sehr nusslich ist in dieser Beziehung der Begriff eines Intervalls, d.h. eines Systems A von rationalen Zahlen, welches folgende charakteristische Eigenschaft besisst: sind a und a' Zahlen des Systems A, so sind auch alle zwischen a und a' liegenden rationalen Zahlen in A enthalten. Das System R aller rationalen Zahlen, ebenso die beiden Classen eines jeden Schnittes sind Intervalle. Giebt es aber eine rationale Zahl a₁, welche kleiner, und eine rationale Zahl a₂, welche grosser ist, als jede Zahl des Intervalls A, so heisse A ein endliches [pag. 21] Intervall; es giebt dann offenbar unendlich viele Zahlen von derselben Beschaffenheit wie a₁, und unendlich viele Zahlen von derselben Beschaffenheit wie a₂; dass ganze gebiet R zerfallt in drei Stucke, A₁, A, A₂, und es treten zwei vollstandig bestimmte rationale Zahlen ₁, ₂ auf, welche resp. die untere und obere (oder die kleinere und grossere) Grenze des Intervalls A genannt werden konnen; die untere Grenze ₁ ist durch den Schnitt bestimmt, bei welchem die erste Classe durch das System A₁ gebildet wird, und die obere Grenze ₂ durch den Schnitt, bei welchem A₂ die zweite Classe bildet. Von jeder rationalen oder irrationalen Zahl , welche zwischen ₁ und ₂ liegt, mag gesagt werden, sie liege innerhalb des Intervalls A. Sind alle Zahlen eines Intervalls A auch Zahlen eines Intervalls B, so heisse A ein Stuck von B.
Noch viel grossere Weitlaufigkeiten scheinen in Aussicht zu stehen, wenn man dazu ubergehen will, die unzahligen Sasse der Arithmetik der rationalen Zahlen (wie z.B. den Sass (a + b)c = ac + bc) auf beliebige reelle Zahlen zu ubertragen. Dem ist jedoch nicht so; man uberzeugt sich bald, dass hier Alles darauf ankommt, nachzuweisen, dass die arithmetischen Operationen selbst eine gewisse Stetigkeit besissen. Was ich hiermit meine, will ich in die Form eines algemeinen Sasses einkleiden:
,,Ist die Zahl das Resultat einer mit den Zahlen , ss, ... angestellten Rechnung, und liegt innerhalb des Intervalls L, so lassen sich Intervalle A, B, C ... angeben, innerhalb deren die Zahlen , ss, ... liegen, und von der Art, dass das Resultat derselben Rechnung, in welcher die Zahlen , ss, ... durch beliebige Zahlen der Intervalle A, B, C... erfesst werden, jedesmal eine innerhalb des Intervalls L liegende Zahl wird.'' Die abschreckende Schwerfalligkeit aber, welche dem Ausspruche eines solchen Sasses anklebt, uberseugt uns, dass hier etwas geschehen muss, um der Sprache zu Hulfe zu kommen; dies wird in der That auf die vollkommenste Weise erreicht, wenn man die Begriffe [pag. 22] der veranderlichen Grossen, der Functionen, der Grenzwehrte einfuhrt, und zwar wird es das Zweckmassigste sein, schon die Definitionen der einfachsten arithmetischen Operationen auf diese Begriffe zu grunden, was hier jedoch nicht weiter ausgefuhrt werden kann.

SS. 7.

Infinitesimal-Analysis.
Es soll hier nur noch zum Schluss der Zusammenhang beleuchtet werden, welcher zwischen unseren bisherigen Betrachtungen und gewissen Hauptsassen der Infinitesimal-Analysis besteht.
Man sagt, dass eine veranderliche Grosse x, welche successive bestimmte Zahlenwehrte durchlauft, sich einem festen Grenzwehrt nahert, wenn x im Laufe des Processes definitiv zwischen je zwei Zahlen zu liegen kommt, zwischen denen selbst liegt, oder was dasselbe ist, wenn die Differenz x - absolut genommen unter jeden gegebenen, von Null verschiedenen Werth definitiv herabsinkt.
Einer der wichtigsten Sasse lautet folgendermassen: ,,Wachst eine Grosse x bestandig, aber nicht uber alle Grenzen, so nahert sie sich einem Grenzwehrt.''
Ich beweise ihn auf die folgende Art. Der Voraussessung nach giebt es eine und folglich auch unendlich viele Zahlen ₂ von der Art, dass stets x < ₂ bleibt; ich bezeichne mit A₂ das System aller dieser Zahlen ₂, mit A₁ das System aller anderen Zahlen ₁; jede der lessteren hat die Eigenschaft, dass im Laufe des Processes definitiv x > ₁ wird, mithin ist jede Zahl ₁ kleiner als jede Zahl ₂, und folglich existirt eine Zahl , welche entweder die grosste in A₁ oder die kleinste in A₂ ist (SS. 5. IV.). Das Erstere kann nicht der Fall sein, weil x nie aufhort, zu wachsen, also ist die kleinste Zahl in A₂. Welche Zahl ₁ man nun auch nehmen mag, so wird schliesslich definitiv ₁ < x < sein, d.h. x nahert sich dem Grenzwehrte . [pag. 23]
Dieser Sass ist aequivalent mit dem Princip der Stetigkeit, d.h. er verliert seine Gultigkeit, sobald man auch nur eine reele Zahl in dem Gebiete R als nicht vorhanden ansieht; oder anders ausgedruckt: ist dieser Sass richtig, so ist auch der Sass IV in SS. 5 richtig.
Ein anderer, mit diesem ebenfalls aequivalenter Sass der Infinitesimal-Analysis, welcher noch ofter zur Anwendung kommt, lautet folgendermassen: ,,Lasst sich in dem Aenderungsprocesse einer Grosse x fur jede gegebene positive Grosse auch eine entsprechende Stelle angeben, von welcher ab x sich um Weniger als andert, so nahert sich x einem Grenzwehrt.''
Diese Umkehrung des leicht zu beweisenden Sasses, dass jede veranderliche Grosse, welche sich einem Grenzwehrt nahert, sich zulesst um Weniger andert, als irgend eine gegebene positive Grosse, kann ebensowohl aus dem vorhergehenden Sasse wie direct aus dem Princip der Stetigkeit abgeleitet werden. Ich schlage den lessteren Wef ein. Es sei eine beliebige positive Grosse (d.h. > 0), so wird der Annahme zufolge ein Augenblick eintreten, von welchem ab x sich um weniger als andern wird, d.h. wenn x in diesem Augenblick den Wehrt a besisst, so wird in der Folge stets x > a - und x < a + sein. Ich lasse nun einstweilen die ursprungliche Annahme fallen, und halte nur die soeben bewiesene Thatsache fest, dass alle spateren Wehrte der Veranderlichen x zwischen zwei angebbaren, endlichen Wehrten liegen. Hierauf grunde ich eine doppelte Eintheilung aller reellen Zahlen. In das System A₂ nehme ich eine Zahl ₂ (z.B. a + ) auf, wenn im Laufe des Processes definitiv x < ₂ wird; in das System A₁ nehme ich jede nicht in A₂ enthaltene Zahl auf; ist ₁ eine solche Zahl, so wird, wie weit auch der Process vorgeschritten sein mag, es noch unendlich oft eintreten, dass x > ₁ ist. Da jede Zahl ₁ kleiner ist als jede Zahl ₂, so giebt es eine vollig bestimmte Zahl , welche diesen Schnit (A₁, A₂) des Systems R hervorbingt, und welch ich den oberen Grenzwehrt [pag. 24] der stets endlich bleibenden Veranderlichen x nennen will. Ebenso wird durch das Verhalten der Veranderlichen x ein zweiter Schnitt (B₁, B₂) des Systems R hervorgebracht: eine Zahl ss₁ (z.B. a - ) wird in B₁ aufgenommen, wenn im Laufe des Processes definitiv x > ss₁ wird; jede andere, in B₂ aufzunehmende Zahl ss₂ hat die Eigenschaft, dass niemals definitiv x > ss₂, also immer noch unendlich oft x < ss₂ wird; die Zahl ss, durch welche dieser Schnitt hervorgebracht wird, heisse der untere Grenzwehrt der Veranderlichen x. Die beiden Zahlen , ss sind offenbar auch durch die folgende Eigenschaft characterisirt: ist eine beliebig kleine positive Grosse, so wird stets definitiv x < + und x > ss - , aber niemals wird definitiv x < - , und niemals definitiv x > ss + . Nun sind zwei Falle moglich. Sind und ss verschieden von einander, so ist nothwendig > ss, weil stets ₂ > ss₁ ist; die Veranderliche x oscillirt und erleidet, wi weit der Process auch vorgeschritten sein mag, immer noch Aenderungen, deren Betrag den Wehrt ( - ss) - 2 ubetrifft, wo eine beliebig kleine positive Grosse bedeutet. Die ursprungliche Annahme, zu der ich erst jesst zuruckkehre, steht aber im Widerspruch mit dieser Consequenz; es bleibt daher nur der zweite Fall = ss ubrig, und da schon bewiesen ist, dass, wie klein auch die positive Grosse sien mag, immer definitiv x < + und x > ss - wird, so nahert sich x dem Grenzwehrt , was zu beweisen war.
Diese Beispiele mogen genugen, um den Zusammenhang zwischen dem Princip der Stetigkeit und der Infinitesimal-Analysis darzulegen.

Voetnoten:

1) Vorlesungen uber Zahlentheorie von P.G. Lejeune Dirichlet. Zweite Auflage. SS. 159.

2) Es ist also im Folgenden immer das sogenannte ,,algebraische'' grosser und kleiner sein gemeint, wenn nich das Wort ,,absolut'' hinzugefugt wird.

3) Der scheinbare Vorzug der Allgemeinheit dieser Definition der Zahl schwindet sofort dahin, wenn man an die complexen Zahlen denkt. Nach meiner Auffassung kann umgekehrt der Begriff des Verhaltnisses zwischen gleichartigen Grossen erst dann klar entwickelt werden, wenn die irrationalen Zahlen schon eingefuhrt sind.

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