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var exampleShared = {
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% 01/07/2020`
}
var examples = {
'Zone A 2020': `${exampleShared.start2020}
${exampleShared.zoneA2020}
`,
'Zone B 2020': `${exampleShared.start2020}
${exampleShared.zoneB2020}
`,
'Zone C 2020': `${exampleShared.start2020}
${exampleShared.zoneC2020}
`,
'Mathematiques Terminale Techno (hors STD2A)': `${exampleShared.start2020}
# Automatismes
= Proportions et pourcentages
- calculer, appliquer, exprimer une proportion sous differentes formes (decimale, fractionnaire, pourcentage)
- calculer la proportion d'une proportion
= Evolutions et variations
- passer d'une formulation additive (<< augmenter de 5 % >>, respectivement << diminuer de 5 % >>) a une formulation multiplicative (<< multiplier par 1,05 >>, respectivement << multiplier par 0,95 >>)
- appliquer un taux d'evolution pour calculer une valeur finale ou initiale
- calculer un taux d'evolution, l'exprimer en pourcentage
- interpreter un indice de base 100 ; calculer un indice ; calculer le taux d'evolution entre deux valeurs
- calculer le taux d'evolution equivalent a plusieurs evolutions successives
- calculer un taux d'evolution reciproque
- reconnaitre une situation contextualisee se modelisant par une suite geometrique dont on identifie la raison
= Calcul numerique et algebrique
- effectuer des operations et des comparaisons entre des fractions simples
- effectuer des operations sur les puissances
- passer d'une ecriture d'un nombre a une autre (decimale, fractionnaire, scientifique)
- estimer un ordre de grandeur
- effectuer des conversions d'unites
- resoudre une equation ou une inequation du premier degre, une equation du type : x2 = a
- determiner le signe d'une expression du premier degre, d'une expression factorisee du second degre
- isoler une variable dans une egalite ou une inegalite qui en comporte plusieurs sur des exemples internes aux mathematiques ou issus des autres disciplines
- effectuer une application numerique d'une formule (notamment pour les formules utilisees dans les autres disciplines)
- developper, factoriser, reduire une expression algebrique simple
- calculer la derivee d'une fonction polynomiale de degre inferieur ou egal a 3
- calculer le coefficient directeur de la tangente en un point a une courbe a l'aide de la derivee
= Fonctions et representations
- determiner graphiquement des images et des antecedents
- resoudre graphiquement une equation, une inequation du type : f(x) = k, f(x) < k
- determiner le signe d'une expression factorisee du second degre a l'aide d'une image mentale de la courbe representative de la fonction correspondante
- determiner graphiquement le signe d'une fonction ou son tableau de variations
- exploiter une equation de courbe (appartenance d'un point, calcul de coordonnees)
- tracer une droite donnee par son equation reduite ou par un point et son coefficient directeur
- lire graphiquement l'equation reduite d'une droite
- determiner l'equation reduite d'une droite a partir des coordonnees de deux de ses points
- determiner graphiquement le coefficient directeur d'une tangente a une courbe
= Representations graphiques de donnees chiffrees :
- lire un graphique, un histogramme, un diagramme en barres ou circulaire, un diagramme en boite ou toute autre representation (reperer l'origine du repere, les unites de graduations ou les echelles...)
- passer du graphique aux donnees et vice versa
# Analyse
= Suites numeriques
Suites arithmetiques :
- moyenne arithmetique de deux nombres
- expression en fonction de n du terme de rang n
- somme des n premiers termes d'une suite arithmetique ; notation Sigma
Suites geometriques a termes positifs :
- moyenne geometrique de deux nombres positifs
- expression en fonction de n du terme de rang n
- somme des n premiers termes d'une suite geometrique ; notation Sigma
Capacites attendues :
- Prouver que trois nombres sont (ou ne sont pas) les termes consecutifs d'une suite arithmetique ou geometrique
- Determiner la raison d'une suite arithmetique ou geometrique modelisant une evolution
- Exprimer en fonction de n le terme general d'une suite arithmetique ou geometrique
- Calculer la somme des n premiers termes d'une suite arithmetique ou geometrique
- Reconnaitre une situation relevant du calcul d'une somme de termes consecutifs d'une suite arithmetique ou geometrique
Situations algorithmiques
- Ecrire en langage Python une fonction qui calcule la somme des n premiers carres, des n premiers cubes ou des n premiers inverses ; etablir le lien entre l'ecriture de la somme a l'aide du symbole Sigma, et les composantes de l'algorithme (initialisation, sortie de boucle, accumulateur, compteur)
= Fonctions exponentielles
Les fonctions x - a^x (a > 0) comme modele continu d'evolution relative constante
- definition de la fonction x - a^x pour x positif comme prolongement a des valeurs non entieres positives de la suite geometrique (a^n) ; extension a R- en posant a^-x=1/a^x
- sens de variation selon les valeurs de a
- allure de la courbe representative selon les valeurs de a
- proprietes algebriques : a^(x+y) = a^xxa^y ; a^(nx) = (a^x)^n pour n entier relatif
- cas particulier de l'exposant pour calculer un taux d'evolution moyen equivalent a n evolutions successives.
Capacites attendues
- Connaitre et utiliser le sens de variation des fonctions de la forme x - ka^x, selon le signe de k et les valeurs de a
- Connaitre les proprietes algebriques des fonctions exponentielles et les utiliser pour transformer des ecritures numeriques ou litterales
- Calculer le taux d'evolution moyen equivalent a des evolutions successives
Situations algorithmiques
- Intercaler entre deux points deja construits un troisieme point ayant pour abscisse (respectivement pour ordonnee) la moyenne arithmetique (respectivement geometrique) des abscisses (respectivement des ordonnees) des deux points initiaux.
= Fonction logarithme decimal
- Definition du logarithme decimal de b pour b > 0 comme l'unique solution de l'equation 10^x = b ; notation log
- Sens de variation
- Proprietes algebriques : log(ab) = log(a) + log(b), log(a^n) = nlog(a) et, pour n entier naturel, a et b reels strictement positifs
Capacites attendues
- Utiliser le logarithme decimal pour resoudre une equation du type a^x = b ou x^a^ = b d'inconnue x reelle, une inequation du type a^x < b ou x^a < b d'inconnue x reelle ou du type a^n < b d'inconnue n entier naturel
- Utiliser les proprietes algebriques de la fonction logarithme decimal pour transformer des expressions numeriques ou litterales
= Fonction inverse
- Comportement de la fonction inverse aux bornes de son ensemble de definition.
- Derivee et sens de variation.
- Courbe representative ; asymptotes.
Capacites attendues
- Etudier et representer des fonctions obtenues par combinaisons lineaires de la fonction inverse et de fonctions polynomiales de degre au maximum 3.
# Statistique et probabilites
= Series statistiques a deux variables quantitatives
- Nuage de points associe a une serie statistique a deux variables quantitatives
- Ajustement affine.
Capacites attendues
- Representer un nuage de points
- Determiner et utiliser un ajustement affine pour interpoler ou extrapoler des valeurs inconnues
- Representer un nuage de points en effectuant un changement de variable donne (par exemple u^2, 1/t, 1/n, log(y), ...) afin de conjecturer une relation de linearite entre de nouvelles variables
Situations algorithmiques
- Automatiser le calcul de Sigma(yi - (axi+b))^2.
- Rechercher un couple (a,b) minimisant cette expression parmi un ensemble fini de couples proposes par les eleves ou generes par balayage, tirage aleatoire...
= Probabilites conditionnelles
- Conditionnement par un evenement de probabilite non nulle
- Independance de deux evenements de probabilites non nulles
- Formule des probabilites totales pour une partition de l'univers
Capacites attendues
- Construire un arbre de probabilites associe a une situation aleatoire donnee
- Interpreter les ponderations de chaque branche d'un arbre en termes de probabilites, et notamment de probabilites conditionnelles
- Faire le lien entre la definition des probabilites conditionnelles et la multiplication des probabilites des branches du chemin correspondant
- Utiliser un arbre de probabilites pour calculer des probabilites
- Calculer la probabilite d'un evenement connaissant ses probabilites conditionnelles relatives a une partition de l'univers
= Variables aleatoires discretes finies
- Esperance d'une variable aleatoire discrete
- Loi binomiale B(n,p) ; esperance
- Coefficients binomiaux ; triangle de Pascal
Capacites attendues
- Calculer l'esperance d'une variable aleatoire discrete dans des cas simples et l'interpreter
- Calculer des coefficients binomiaux a l'aide du triangle de Pascal pour n<=10
- Reconnaitre une situation relevant de la loi binomiale et en identifier le couple de parametres.
Lorsque la variable aleatoire X suit une loi binomiale :
- interpreter l'evenement {X = k} sur un arbre de probabilite
- calculer les probabilites des evenements {X = 0}, {X = 1}, {X = n}, {X = n - 1} et de ceux qui s'en deduisent par reunion
- calculer la probabilite de l'evenement {X = k} a l'aide des coefficients binomiaux
Situations algorithmiques
- Generer un triangle de Pascal de taille n donnee.
- Representer par un diagramme en batons la loi de probabilite d'une loi binomiale (n,p). Faire le lien avec l'histogramme des frequences observees des 1 lors de la simulation de N echantillons de taille n d'une loi de Bernoulli de parametre p faite en classe de premiere.
- Calculer l'esperance Sigmaxipi d'une variable aleatoire suivant une loi de probabilite donnee ; cas particulier d'une variable aleatoire suivant la loi binomiale B(n,p)
- Representer graphiquement l'esperance de lois binomiales B(n,p) a p fixe et n variable, a n fixe et p variable puis faire le lien avec l'expression admise de l'esperance
# Algorithmique et programmation
= Variables
- utiliser un generateur de nombres aleatoires entre 0 et 1 pour simuler une loi de Bernoulli de parametre p
- utiliser la notion de compteur
- utiliser le principe d'accumulateur pour calculer une somme, un produit
= Fonctions
- identifier les entrees et les sorties d'une fonction
- structurer un programme en ayant recours aux fonctions
= Listes
- generer une liste (en extension, par ajouts successifs, en comprehension) - manipuler des elements d'une liste (ajouter, supprimer...) et leurs indices
- iterer sur les elements d'une liste
= Selection de donnees
- traiter un fichier contenant des donnees reelles pour en extraire de l'information et l'analyser - realiser un tableau croise de donnees sur deux criteres a partir de donnees brutes.`,
'Zone C 2019': `${exampleShared.start2019}
${exampleShared.holiday2019}
`,
'Mathematiquees 2nd 2019': `${exampleShared.start2019}
#Nombres et calculs
=Manipuler les nombres reels
Connaissances
- Ensemble R des nombres reels, droite numerique.
- Intervalles de R. Notations + et -.
- Notation |a|. Distance entre deux nombres reels.
- Representation de l'intervalle [a - r, a + r] puis caracterisation par la condition |x - a| <= r.
- Ensemble D des nombres decimaux. Encadrement decimal d'un nombre reel a 10-n pres.
- Ensemble Q des nombres rationnels. Nombres irrationnels ; exemples fournis par la geometrie, par exemple 2 et p.
Capacites associees
- Associer a chaque point de la droite graduee un unique nombre reel et reciproquement.
- Representer un intervalle de la droite numerique. Determiner si un nombre reel appartient a un intervalle donne.
- Donner un encadrement d'un nombre reel par des decimaux, d'amplitude donnee.
- Dans le cadre de la resolution de problemes, arrondir en donnant le nombre de chiffres significatifs adapte a la situation etudiee.
Demonstrations
- Le nombre rationnel 1/3 n'est pas decimal.
- Le nombre reel 2 est irrationnel.
=Utiliser les notions de multiple, diviseur et de nombre premier
Connaissances
- Notations N et Z.
- Definition des notions de multiple, de diviseur, de nombre pair, de nombre impair.
Capacites associees
- Modeliser et resoudre des problemes mobilisant les notions de multiple, de diviseur, de nombre pair, de nombre impair, de nombre premier.
- Presenter les resultats fractionnaires sous forme irreductible.
Demonstrations
- Pour une valeur numerique de a, la somme de deux multiples de a est multiple de a.
- Le carre d'un nombre impair est impair.
Exemples d'algorithme
- Determiner si un entier naturel a est multiple d'un entier naturel b.
- Pour des entiers a et b donnes, determiner le plus grand multiple de a inferieur ou egal a b.
- Determiner si un entier naturel est premier.
=Utiliser le calcul litteral
Connaissances
- Regles de calcul sur les puissances entieres relatives, sur les racines carrees. Relation a2 = |a|.
- Identites a2 - b2 = (a - b)(a + b), (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 et (a - b)2 = a2 - 2ab + b2, a connaitre dans les deux sens.
- Exemples simples de calcul sur des expressions algebriques, en particulier sur des expressions fractionnaires.
- Somme d'inegalites. Produit d'une inegalite par un reel positif, negatif, en liaison avec le sens de variation d'une fonction affine.
- Ensemble des solutions d'une equation, d'une inequation.
Capacites associees
- Effectuer des calculs numeriques ou litteraux mettant en jeu des puissances, des racines carrees, des ecritures fractionnaires.
- Sur des cas simples de relations entre variables (par exemple U = RI, d = vt, S = r2, V = abc, V = r2h), exprimer une variable en fonction des autres. Cas d'une relation du premier degre ax + by = c.
- Choisir la forme la plus adaptee (factorisee, developpee reduite) d'une expression en vue de la resolution d'un probleme.
- Comparer deux quantites en utilisant leur difference, ou leur quotient dans le cas positif.
- Modeliser un probleme par une inequation.
- Resoudre une inequation du premier degre.
Demonstrations
- Quels que soient les reels positifs a, b on a ab = ab.
- Si a et b sont des reels strictement positifs, a + b < a + b
- Pour a et b reels positifs, illustration geometrique de l'egalite a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
Exemple d'algorithme
- Determiner la premiere puissance d'un nombre positif donne superieure ou inferieure a une valeur donnee.
Approfondissements
- Developpement de (a + b + c)2
- Developpement de (a + b)3
- Inegalite entre moyennes geometrique et arithmetique de deux reels strictement positifs
# Geometrie
=Manipuler les vecteurs du plan
Connaissances
- Vecteur MM' associe a la translation qui transforme M en M'. Direction, sens et norme.
- Egalite de deux vecteurs. Notation ->u. Vecteur nul.
- Somme de deux vecteurs en lien avec l'enchainement des translations. Relation de Chasles.
- Base orthonormee. Coordonnees d'un vecteur. Expression de la norme d'un vecteur.
- Expression des coordonnees de ->AB en fonction de celles de A et de B.
- Produit d'un vecteur par un nombre reel. Colinearite de deux vecteurs.
- Determinant de deux vecteurs dans une base orthonormee, critere de colinearite. Application a l'alignement, au parallelisme.
Capacites associees
- Representer geometriquement des vecteurs.
- Construire geometriquement la somme de deux vecteurs.
- Representer un vecteur dont on connait les coordonnees. Lire les coordonnees d'un vecteur.
- Calculer les coordonnees d'une somme de vecteurs, d'un produit d'un vecteur par un nombre reel.
- Calculer la distance entre deux points. Calculer les coordonnees du milieu d'un segment.
- Caracteriser alignement et parallelisme par la colinearite de vecteurs.
- Resoudre des problemes en utilisant la representation la plus adaptee des vecteurs.
Demonstration
- Deux vecteurs sont colineaires si et seulement si leur determinant est nul.
Approfondissement
- Definition vectorielle des homotheties.
=Resoudre des problemes de geometrie
Connaissances
- Cercle circonscrit a un triangle. Cas du triangle rectangle.
- Projete orthogonal d'un point sur une droite.
Capacites associees
- Resoudre des problemes de geometrie plane sur des figures simples ou complexes (triangles, quadrilateres, cercles).
- Calculer des longueurs, des angles, des aires et des volumes. Veiller a mobiliser les connaissances du college, notamment la trigonometrie.
- Traiter de problemes d'optimisation.
Demonstrations
- Le projete orthogonal du point M sur une droite est le point de la droite le plus proche du point M.
- Relation trigonometrique cos2() + sin2() = 1 dans un triangle rectangle.
Approfondissements
- Demontrer que les hauteurs d'un triangle sont concourantes.
- Expression de l'aire d'un triangle : 1/2ab sin C.
- Formule d'Al-Kashi.
- Le point de concours des mediatrices est le centre du cercle circonscrit.
=Representer et caracteriser les droites du plan
Dans cette section, le plan est muni d'un repere orthonorme.
Connaissances
- Vecteur directeur d'une droite.
- Application du determinant aux equations de droite : equation cartesienne, equation reduite.
- Pente (ou coefficient directeur) d'une droite non parallele a l'axe des ordonnees.
Capacites associees
- Determiner une equation de droite a partir de deux points, un point et un vecteur directeur ou un point et la pente.
- Determiner la pente ou un vecteur directeur d'une droite donnee par une equation ou une representation graphique.
- Tracer une droite connaissant son equation cartesienne ou reduite.
- Etablir que trois points sont alignes ou non.
- Determiner si deux droites sont paralleles ou secantes.
- Resoudre un systeme de deux equations lineaires a deux inconnues, determiner le point d'intersection de deux droites secantes.
Demonstration
- En utilisant le determinant, etablir la forme generale d'une equation de droite.
Exemples d'algorithme
- Etudier l'alignement de trois points dans le plan.
- Determiner une equation de droite passant par deux points donnes.
Approfondissements
- Ensemble des points equidistants d'un point et de l'axe des abscisses.
- Representation, sur des exemples, de parties du plan decrites par des inegalites sur les coordonnees
# Fonctions
=Fonctions de reference
Connaissances
- Fonctions carre, inverse, racine carree, cube : definitions et courbes representatives.
Capacites associees
- Pour deux nombres a et b donnes et une fonction de reference f, comparer f(a) et f(b) numeriquement ou graphiquement.
- Pour les fonctions affines, carre, inverse, racine carree et cube, resoudre graphiquement ou algebriquement une equation ou une inequation du type f(x) = k, f(x) < k.
Demonstration
- Etudier la position relative des courbes d'equation y = x, y = x2, y = x3, pour x >= 0.
=Fonctions, courbes representatives
Connaissances
- Fonction a valeurs reelles definie sur un intervalle ou une reunion finie d'intervalles de R.
- Courbe representative : la courbe d'equation y = f(x) est l'ensemble des points du plan dont les coordonnees (x, y) verifient y = f(x).
- Fonction paire, impaire. Traduction geometrique.
Capacites associees
- Exploiter l'equation y = f(x) d'une courbe : appartenance, calcul de coordonnees.
- Modeliser par des fonctions des situations issues des mathematiques, des autres disciplines.
- Resoudre une equation ou une inequation du type f(x) = k, f(x) < k, en choisissant une methode adaptee : graphique, algebrique, logicielle.
- Resoudre une equation, une inequation produit ou quotient, a l'aide d'un tableau de signes.
- Resoudre graphiquement ou a l'aide d'un outil numerique une equation ou inequation du type f(x) = g(x), f(x) < g(x).
- Etudier la parite d'une fonction sur des exemples.
=Variations et extremums
Connaissances
- Croissance, decroissance, monotonie d'une fonction definie sur un intervalle. Tableau de variations.
- Maximum, minimum d'une fonction sur un intervalle.
- Pour une fonction affine, interpretation du coefficient directeur comme taux d'accroissement, variations selon son signe.
- Variations des fonctions carre, inverse, racine carree, cube.
Capacites associees
- Relier representation graphique et tableau de variations.
- Determiner graphiquement les extremums d'une fonction sur un intervalle.
- Exploiter un logiciel de geometrie dynamique ou de calcul formel, la calculatrice ou Python pour decrire les variations d'une fonction donnee par une formule.
- Relier sens de variation, signe et droite representative d'une fonction affine.
Demonstration
- Variations des fonctions carre, inverse, racine carree.
Exemples d'algorithme
- Pour une fonction dont le tableau de variations est donne, algorithmes d'approximation numerique d'un extremum (balayage, dichotomie).
- Algorithme de calcul approche de longueur d'une portion de courbe representative de fonction.
Approfondissement
- Relier les courbes representatives de la fonction racine carree et de la fonction carre sur R+.
# Statistique et probabilites
=Information chiffree et statistique descriptive
Connaissances
- Proportion, pourcentage d'une sous-population dans une population.
- Ensembles de reference inclus les uns dans les autres : pourcentage de pourcentage.
- Evolution : variation absolue, variation relative.
- Evolutions successives, evolution reciproque : relation sur les coefficients multiplicateurs (produit, inverse).
- Indicateurs de tendance centrale d'une serie statistique : moyenne ponderee.
- Linearite de la moyenne.
- Indicateurs de dispersion : ecart interquartile, ecart type.
Capacites associees
- Exploiter la relation entre effectifs, proportions et pourcentages.
- Traiter des situations simples mettant en jeu des pourcentages de pourcentages.
- Exploiter la relation entre deux valeurs successives et leur taux d'evolution.
- Calculer le taux d'evolution global a partir des taux d'evolution successifs. Calculer un taux d'evolution reciproque.
- Decrire verbalement les differences entre deux series statistiques, en s'appuyant sur des indicateurs ou sur des representations graphiques donnees.
- Pour des donnees reelles ou issues d'une simulation, lire et comprendre une fonction ecrite en Python renvoyant la moyenne m, l'ecart type s, et la proportion d'elements appartenant a [m - 2s, m + 2s].
=Probabilites sur un ensemble fini
Connaissances
- Ensemble (univers) des issues. Evenements. Reunion, intersection, complementaire.
- Loi (distribution) de probabilite. Probabilite d'un evenement : somme des probabilites des issues.
- Relation P(A B) + P(A B) = P(A) + P(B).
- Denombrement a l'aide de tableaux et d'arbres.
Capacites associees
- Utiliser des modeles theoriques de reference (de, piece equilibree, tirage au sort avec equiprobabilite dans une population) en comprenant que les probabilites sont definies a priori.
- Construire un modele a partir de frequences observees, en distinguant nettement modele et realite.
- Calculer des probabilites dans des cas simples : experience aleatoire a deux ou trois epreuves.
=Echantillonnage
Connaissances
- Echantillon aleatoire de taille n pour une experience a deux issues.
- Version vulgarisee de la loi des grands nombres : << Lorsque n est grand, sauf exception, la frequence observee est proche de la probabilite. >>
- Principe de l'estimation d'une probabilite, ou d'une proportion dans une population, par une frequence observee sur un echantillon.
Experimentations
- Lire et comprendre une fonction Python renvoyant le nombre ou la frequence de succes dans un echantillon de taille n pour une experience aleatoire a deux issues.
- Observer la loi des grands nombres a l'aide d'une simulation sur Python ou tableur.
- Simuler N echantillons de taille n d'une experience aleatoire a deux issues. Si p est la probabilite d'une issue et f sa frequence observee dans un echantillon, calculer la proportion des cas ou l'ecart entre p et f est inferieur ou egal a 1/n
# Algorithmique et programmation
= Variables et instructions elementaires
Connaissances
- Variables informatiques de type entier, flottant, chaine de caractere.
- Affectation (notee - en langage naturel).
- Sequence d'instructions.
- Instruction conditionnelle.
- Boucle bornee (for), boucle non bornee (while).
Capacites associees
- Choisir ou determiner le type d'une variable (entier, flottant ou chaine de caracteres).
- Concevoir et ecrire une instruction d'affectation, une sequence d'instructions, une instruction conditionnelle.
- Ecrire une formule permettant un calcul combinant des variables.
- Programmer, dans des cas simples, une boucle bornee, une boucle non bornee.
- Dans des cas plus complexes : lire, comprendre, modifier ou completer un algorithme ou un programme
= Notion de fonction
Connaissances
Fonctions a un ou plusieurs arguments.
- Fonction renvoyant un nombre aleatoire. Serie statistique obtenue par la repetition de l'appel d'une telle fonction.
Capacites associees
- Ecrire des fonctions simples ; lire, comprendre, modifier, completer des fonctions plus complexes. Appeler une fonction.
- Lire et comprendre une fonction renvoyant une moyenne, un ecart type. Aucune connaissance sur les listes n'est exigee.
- Ecrire des fonctions renvoyant le resultat numerique d'une experience aleatoire, d'une repetition d'experiences aleatoires independantes.`,
'Mathematiquees 1spe 2019': `${exampleShared.start}
# Algebre
= Suites numeriques, modeles discrets
Contenus
- Exemples de modes de generation d'une suite : explicite un = f(n), par une relation de recurrence un+1 = f(un), par un algorithme, par des motifs geometriques. Notations : u(n), un, (u(n)), (un).
- Suites arithmetiques : exemples, definition, calcul du terme general. Lien avec l'etude d'evolutions successives a accroissements constants. Lien avec les fonctions affines. Calcul de 1 + 2 + ... + n.
- Suites geometriques : exemples, definition, calcul du terme general. Lien avec l'etude d'evolutions successives a taux constant. Lien avec la fonction exponentielle. Calcul de 1 + q + ... + q^n.
- Sens de variation d'une suite.
- Sur des exemples, introduction intuitive de la notion de limite, finie ou infinie, d'une suite.
Capacites attendues
- Dans le cadre de l'etude d'une suite, utiliser le registre de la langue naturelle, le registre algebrique, le registre graphique, et passer de l'un a l'autre.
- Proposer, modeliser une situation permettant de generer une suite de nombres. Determiner une relation explicite ou une relation de recurrence pour une suite definie par un motif geometrique, par une question de denombrement.
- Calculer des termes d'une suite definie explicitement, par recurrence ou par un algorithme.
- Pour une suite arithmetique ou geometrique, calculer le terme general, la somme de termes consecutifs, determiner le sens de variation.
- Modeliser un phenomene discret a croissance lineaire par une suite arithmetique, un phenomene discret a croissance exponentielle par une suite geometrique.
- Conjecturer, dans des cas simples, la limite eventuelle d'une suite.
Demonstrations
- Calcul du terme general d'une suite arithmetique, d'une suite geometrique.
- Calcul de 1 + 2 + ... + n.
- Calcul de 1 + q + ... + q^n.
Exemples d'algorithme
- Calcul de termes d'une suite, de sommes de termes, de seuil.
- Calcul de factorielle.
- Liste des premiers termes d'une suite : suites de Syracuse, suite de Fibonacci.
= Equations, fonctions polynomes du second degre
Contenus
- Fonction polynome du second degre donnee sous forme factorisee. Racines, signe, expression de la somme et du produit des racines.
- Forme canonique d'une fonction polynome du second degre. Discriminant. Factorisation eventuelle. Resolution d'une equation du second degre. Signe.
Capacites attendues
- Etudier le signe d'une fonction polynome du second degre donnee sous forme factorisee.
- Determiner les fonctions polynomes du second degre s'annulant en deux nombres reels distincts.
- Factoriser une fonction polynome du second degre, en diversifiant les strategies : racine evidente, detection des racines par leur somme et leur produit, identite remarquable, application des formules generales.
- Choisir une forme adaptee (developpee reduite, canonique, factorisee) d'une fonction polynome du second degre dans le cadre de la resolution d'un probleme (equation, inequation, optimisation, variations).
Demonstration
- Resolution de l'equation du second degre.
# Analyse
= Derivation
Contenus
Point de vue local
- Taux de variation. Secantes a la courbe representative d'une fonction en un point donne.
- Nombre derive d'une fonction en un point, comme limite du taux de variation. Notation f'(a).
- Tangente a la courbe representative d'une fonction en un point, comme << limite des secantes >>. Pente. Equation : la tangente a la courbe representative de f au point d'abscisse a est la droite d'equation y = f(a) + f'(a)(x - a).
Point de vue global
- Fonction derivable sur un intervalle. Fonction derivee.
- Fonction derivee des fonctions carre, cube, inverse, racine carree.
- Operations sur les fonctions derivables : somme, produit, inverse, quotient, fonction derivee de x - g(ax + b)
- Pour n dans Z, fonction derivee de la fonction x - x^n.
- Fonction valeur absolue : courbe representative, etude de la derivabilite en 0.
Capacites attendues
- Calculer un taux de variation, la pente d'une secante.
- Interpreter le nombre derive en contexte : pente d'une tangente, vitesse instantanee, cout marginal...
- Determiner graphiquement un nombre derive par la pente de la tangente. Construire la tangente en un point a une courbe representative connaissant le nombre derive.
- Determiner l'equation de la tangente en un point a la courbe representative d'une fonction.
- A partir de la definition, calculer le nombre derive en un point ou la fonction derivee de la fonction carre, de la fonction inverse.
- Dans des cas simples, calculer une fonction derivee en utilisant les proprietes des operations sur les fonctions derivables.
Demonstrations
- Equation de la tangente en un point a une courbe representative.
- La fonction racine carree n'est pas derivable en 0.
- Fonction derivee de la fonction carree, de la fonction inverse.
- Fonction derivee d'un produit.
Exemple d'algorithme
- Ecrire la liste des coefficients directeurs des secantes pour un pas donne.
= Variations et courbes representatives des fonctions
Contenus
- Lien entre le sens de variation d'une fonction derivable sur un intervalle et signe de sa fonction derivee ; caracterisation des fonctions constantes.
- Nombre derive en un extremum, tangente a la courbe representative.
Capacites attendues
- Etudier les variations d'une fonction. Determiner les extremums.
- Resoudre un probleme d'optimisation.
- Exploiter les variations d'une fonction pour etablir une inegalite. Etudier la position relative de deux courbes representatives.
- Etudier, en lien avec la derivation, une fonction polynome du second degre : variations, extremum, allure selon le signe du coefficient de x2.
Exemple d'algorithme
- Methode de Newton, en se limitant a des cas favorables.
= Fonction exponentielle
Contenus
- Definition de la fonction exponentielle, comme unique fonction derivable sur R verifiant f' = f et f(0) = 1. L'existence et l'unicite sont admises. Notation exp(x).
- Pour tous reels x et y, exp(x + y) = exp(x) exp(y) et exp(x) exp(-x) = 1. Nombre e. Notation e^x.
- Pour tout reel a, la suite (ena) est une suite geometrique.
- Signe, sens de variation et courbe representative de la fonction exponentielle.
Capacites attendues
- Transformer une expression en utilisant les proprietes algebriques de la fonction exponentielle.
- Pour une valeur numerique strictement positive de k, representer graphiquement les fonctions t - e^(-kt) et t - e^(kt).
- Modeliser une situation par une croissance, une decroissance exponentielle (par exemple evolution d'un capital a taux fixe, decroissance radioactive).
Exemple d'algorithme
- Construction de l'exponentielle par la methode d'Euler. Determination d'une valeur approchee de e a l'aide de la suite (1+1/n)^n.
= Fonctions trigonometriques
Contenus
- Cercle trigonometrique. Longueur d'arc. Radian.
- Enroulement de la droite sur le cercle trigonometrique. Image d'un nombre reel.
- Cosinus et sinus d'un nombre reel. Lien avec le sinus et le cosinus dans un triangle rectangle. Valeurs remarquables.
- Fonctions cosinus et sinus. Parite, periodicite. Courbes representatives.
Capacites attendues
- Placer un point sur le cercle trigonometrique.
- Lier la representation graphique des fonctions cosinus et sinus et le cercle trigonometrique.
- Traduire graphiquement la parite et la periodicite des fonctions trigonometriques.
- Par lecture du cercle trigonometrique, determiner, pour des valeurs remarquables de x, les cosinus et sinus d'angles associes a x.
Demonstration
- Calcul de sin(p/4), cos(p/3), sin(p/3).
Exemple d'algorithme
- Approximation de p par la methode d'Archimede
# Geometrie
= Calcul vectoriel et produit scalaire
Contenus
- Produit scalaire a partir de la projection orthogonale et de la formule avec le cosinus. Caracterisation de l'orthogonalite.
- Bilinearite, symetrie. En base orthonormee, expression du produit scalaire et de la norme, critere d'orthogonalite.
- Developpement de ||-u+-v||2. Formule d'Al-Kashi.
- Transformation de l'expression -MA-MB.
Capacites attendues
- Utiliser le produit scalaire pour demontrer une orthogonalite, pour calculer un angle, une longueur dans le plan ou dans l'espace.
- En vue de la resolution d'un probleme, calculer le produit scalaire de deux vecteurs en choisissant une methode adaptee (en utilisant la projection orthogonale, a l'aide des coordonnees, a l'aide des normes et d'un angle, a l'aide de normes).
- Utiliser le produit scalaire pour resoudre un probleme geometrique.
Demonstrations
- Formule d'Al-Kashi (demonstration avec le produit scalaire).
- Ensemble des points M tels que -MA-MB = 0 (demonstration avec le produit scalaire)
= Geometrie reperee
Dans cette section, le plan est rapporte a un repere orthonorme.
Contenus
- Vecteur normal a une droite. Le vecteur de coordonnees (a,b) est normal a la droite d'equation ax + by + c =0. Le vecteur (-b,a) en est un vecteur directeur.
- Equation de cercle.
- Parabole representative d'une fonction polynome du second degre. Axe de symetrie, sommet.
Capacites attendues
- Determiner une equation cartesienne d'une droite connaissant un point et un vecteur normal.
- Determiner les coordonnees du projete orthogonal d'un point sur une droite.
- Determiner et utiliser l'equation d'un cercle donne par son centre et son rayon.
- Reconnaitre une equation de cercle, determiner centre et rayon.
- Determiner l'axe de symetrie et le sommet d'une parabole d'equation y = ax2 + bx + c.
- Utiliser un repere pour etudier une configuration.
# Probabilites et statistiques
= Probabilites conditionnelles et independance
Contenus
- Probabilite conditionnelle d'un evenement B sachant un evenement A de probabilite non nulle. Notation PA(B). Independance de deux evenements.
- Arbres ponderes et calcul de probabilites : regle du produit, de la somme.
- Partition de l'univers (systemes complets d'evenements). Formule des probabilites totales.
- Succession de deux epreuves independantes. Representation par un arbre ou un tableau.
Capacites attendues
- Construire un arbre pondere ou un tableau en lien avec une situation donnee. Passer du registre de la langue naturelle au registre symbolique et inversement.
- Utiliser un arbre pondere ou un tableau pour calculer une probabilite.
- Calculer des probabilites conditionnelles lorsque les evenements sont presentes sous forme de tableau croise d'effectifs (tirage au sort avec equiprobabilite d'un individu dans une population).
- Dans des cas simples, calculer une probabilite a l'aide de la formule des probabilites totales.
- Distinguer en situation PA(B) et PB(A), par exemple dans des situations de type << faux positifs >>.
- Representer une repetition de deux epreuves independantes par un arbre ou un tableau.
Exemple d'algorithme
- Methode de Monte-Carlo : estimation de l'aire sous la parabole, estimation du nombre p.
= Variables aleatoires reelles
Le programme ne considere que des univers finis et des variables aleatoires reelles.
Contenus
- Variable aleatoire reelle : modelisation du resultat numerique d'une experience aleatoire ; formalisation comme fonction definie sur l'univers et a valeurs reelles.
- Loi d'une variable aleatoire.
- Esperance, variance, ecart type d'une variable aleatoire.
Capacites attendues
- Interpreter en situation et utiliser les notations {X = a}, {X a}, P(X = a), P(X a). Passer du registre de la langue naturelle au registre symbolique et inversement.
- Modeliser une situation a l'aide d'une variable aleatoire.
- Determiner la loi de probabilite d'une variable aleatoire.
- Calculer une esperance, une variance, un ecart type.
- Utiliser la notion d'esperance dans une resolution de probleme (mise pour un jeu equitable...).
Exemples d'algorithmes
- Algorithme renvoyant l'esperance, la variance ou l'ecart type d'une variable aleatoire.
- Frequence d'apparition des lettres d'un texte donne, en francais, en anglais.
Experimentations
- Simuler une variable aleatoire avec Python.
- Lire, comprendre et ecrire une fonction Python renvoyant la moyenne d'un echantillon de taille n d'une variable aleatoire.
- Etudier sur des exemples la distance entre la moyenne d'un echantillon simule de taille n d'une variable aleatoire et l'esperance de cette variable aleatoire.
- Simuler, avec Python ou un tableur, N echantillons de taille n d'une variable aleatoire, d'esperance m et d'ecart type s. Si m designe la moyenne d'un echantillon, calculer la proportion des cas ou l'ecart entre m et m est inferieur ou egal a 2s / n .
# Algorithmique et programmation
= Notion de liste
Capacites attendues
- Generer une liste (en extension, par ajouts successifs ou en comprehension).
- Manipuler des elements d'une liste (ajouter, supprimer...) et leurs indices.
- Parcourir une liste.
- Iterer sur les elements d'une liste.`
}
var pSource = examples['Mathematiquees 2nd 2019'];